GEOMETRIA I

Sinteticamente l' obiettivo del corso è lo studio dell’algebra lineare e delle sue applicazioni alla geometria affine e euclidea. L’algebra lineare è essenzialmente lo studio dei fenomeni lineari su spazi vettoriali. I fenomeni lineari in dimensione finita possono essere considerati i più semplici e quindi la loro teoria risulta pressoché completa. L' algebra lineare è presente in tutti i settori della matematica sia teorica e sia applicata. Un altro obiettivo è di mostrare allo studente come questa teoria (come le altre teorie matematiche e non solo l' Algebra) possa essere sviluppata, rigorosamente, tramite dimostrazioni, partendo dalle nozioni di base (elementi di logica, teoria degli insiemi). Si vedrà poi come la geometria affine e la geometria euclidea possano essere definite  tramite  l’algebra lineare (e multi-lineare). Per quanto riguarda la geometria affine si porrà in evidenza la corrispondenza tra il punto di vista sintetico-geometrico e quello algebrico. Al termine del corso lo studente avrà anche acquisito familiarità con le principali tecniche di dimostrazione usate in matematica (induzione, assurdo, contrapposizione) e sarà in grado di risolvere problemi standard (e meno standard) di algebra lineare e geometria (affine e euclidea).

Più in dettaglio enunceremo ora vari descrittori.

Conoscenza e capacità di comprensione:  -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali  nell'ambito dell'algebra, della geometria affine e euclidea, dell'algebra lineare, della geometria degli enti lineari e delle coniche e quadriche; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che saranno di analoga natura ad altri già affrontati  dagli studenti durante il corso.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:  dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute;  - costruire dimostrazioni rigorose; -analizzare  semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente  verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su vari problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.

Autonomia di giudizio:  acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema di geometria; - essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di ipotesi e tesi; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci. Questi obiettivi sono raggiungibili  dallo studente anche grazie alle attività di esercitazione svolte durante il corso e grazie al supporto integrativo al corso di Geometria I; esse saranno per lo studente occasioni per sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente del corso di laurea in Matematica verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione su  nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni e durante il supporto, con il fine di fornire una base solida alle nuove conoscenze teoriche.

Abilità comunicative: - saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi e soluzioni; - sapere presentare, oralmente o in forma scritta, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi dell'algebra lineare e della geometria affine e euclidea; - essere in grado di lavorare  e di operare con definiti gradi di autonomia. Per il raggiungimento delle abilità comunicative saranno previste ampie modalità di verifica e di discussione di elaborati scritti. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.

Capacità di apprendimento:  - aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenze e di competenze, tali da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Geometria 1 - 12 CFU - 99 ore totali

Organizzazione didattica

300 ore d'impegno totale

201 di studio individuale
70 di lezione frontale
24 di esercitazione +5 esercitazione Syllabus Prerequisiti

Lezioni frontali e svolgimento di esercizi in classe. Alcune lezioni si svolgeranno esclusivamente alla lavagna, altre mediante appunti da dividere agli studenti. Ciò dipenderà dal tipo di argomento trattato.

Verranno svolti degli incontri periodici con alcuni docenti di primo anno per monitorare l' andamento dell' apprendimento da parte degli studenti. Durante questi incontri  gli studenti  saranno guidati a riflettere sui collegamenti fra le tre discipline, in modo da apprezzare l'unità e l' aspetto  multidisciplinare  del sapere matematico.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto sopra dichiarato, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel presente syllabus.

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof.ssa Daniele.

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. E' fortemente consigliata la frequenza dei  Corsi Zero. Per gli studenti con obblighi formativi aggiuntivi sono previsti dei corsi di recupero obbligatori.

Lo studente deve possedere le conoscenze matematiche specifiche fornite da quasi tutti i percorsi formativi secondari, comprendenti le nozioni di base di aritmetica, algebra, geometria euclidea e analitica, trigonometria, nonché di logica e comprensione verbale. In particolare, si richiede che lo studente:

•     sappia operare con gli insiemi (unione, intersezione, complementare, etc) e conosca le nozioni di funzione iniettiva, suriettiva, biiezione.

•     conosca gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali

•     conosca la definizione e le principali proprietà di geometria richiamate durante il Corso Zero. 

•     conosca superficialmente la differenza tra assiomi, definizioni, teoremi e sia in grado di effettuare dimostrazioni per induzione o per assurdo, etc, etc.

Potenziamento in itinere (Algebra Lineare). Syllabus dei Prerequisiti. 

Nell'ambito delle attività di esercitazione è previsto un modulo di potenziamento in itinere, della durata di 5 ore, dedicato al consolidamento delle competenze  richieste tra i prerequisiti del corso (proprietà delle funzioni tra insiemi: iniettive, suriettive, biiezioni, risoluzione di sistemi di equazioni lineari in due o tre o quattro variabili e operazioni elementari sulle righe della matrice associata al sistema). Il modulo è rivolto in particolare agli studenti che presentano lacune su tali argomenti e si svolge attraverso esercitazioni guidate in aula.

Propedeuticità: nessuna

Frequenza: fortemente consigliata

Frequenza tutorati: fortemente consigliata. 

ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):

1. Elementi di logica, metodi di dimostrazione. Insiemi. Applicazioni. Relazioni d’equivalenza. Gruppi. Anelli, corpi, campi.
2. Matrici ad elementi in un campo e loro proprietà.
   
3.  Spazi vettoriali e loro proprietà .
4.  Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
5. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Spazio vettoriale duale. Spazio vettoriale quoziente e rivisitazione del Teorema del Nucleo e Immagine.
6. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
7. Prodotto scalare in uno spazio reale. Basi ortonormali. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Sottospazi di uno spazio euclideo e loro complemento ortogonale. Matrici ortogonali e loro caratterizzazione. Isomorfismi di spazi euclidei. Gruppo delle isometrie di uno spazio vettoriale euclideo.

GEOMETRIA AFFINE E EUCLIDEA (II semestre,  parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)

1. Spazi Affini  e gruppo delle Affinità
2. I vettori geometrici dello spazio ordinario. 
3. Sottospazi affini. Parallelismo. Intersezione di sottospazi affini. Sottospazio affine generato da un insieme. Riferimenti affini e sistemi di coordinate affini. 
4. Geometria nel piano affine, rette e loro equazioni.  Geometria nello spazio affine di dimensione 3. Piani e rette e vari modi di rappresentarli. Spazi affini di dimensione 4.
5. Spazi affini euclidei. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Distanze. Isometrie del piano e dello spazio.
6. Accenno agli enti non lineari (coniche, quadriche e ipersuperficie affini) e alla loro classificazione affine e euclidea.

Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile:

• Goal 4 Istruzione di Qualità – Assicurare un’istruzione inclusiva, equa e di qualità, e promuovere opportunità di apprendimento permanente.
• Goal 5 Uguaglianza di Genere – Raggiungere l’uguaglianza di genere e l’autonomia di tutte le donne e ragazze.
• Goal 8 Lavoro Dignitoso e Crescita Economica – Promuovere una crescita economica sostenuta, inclusiva e sostenibile, piena occupazione e lavoro dignitoso per tutti.

Modalità:

1. Note del docente su Algebra Lineare da integrare con i testi 3 e 4.
2.  Note del docente su Geometria da integrare con i  testi 3 e 4.
3.  E. Sernesi,  Geometria 1,Bollati- Boringhieri, II edizione, 1989.
4. P. Ellia, A. Massarenti, Algebra Lineare e Geometria, Società Editrice Esculapio, II Edizione, 2026.
5. P. Ellia, A. Massarenti, Algebra Lineare e Geometria. Esercizi svolti, 2025, Società Editrice Esculapio.

a) Verifica durante il corso: Periodicamente, durante le esercitazioni gli studenti potranno essere invitati a risolvere alla lavagna degli esercizi proposti dal docente o dagli studenti stessi. Questo risulta utile per monitorare il livello di apprendimento degli studenti. Durante le lezioni, inoltre, gli studenti saranno invitati a citare definizioni e risultati trattati nelle lezioni precedenti, per favorire un apprendimento consapevole della disciplina. Durante le ore di attività integrative saranno svolte delle esercitazioni utili all’autovalutazione.

b) Prove in itinere. Sono  previste due   prove in itinere scritte della durata di tre ore seguite da due prove orali. Ognuna  consisterà di una prova scritta e di una prova orale. Saranno ammessi alla prova orale di ogni singola prova in itinere coloro che avranno riportato una  votazione non inferiore ai 12/30 ne tre  esercizi proposti, che avranno ognuno il valore di 10/30. Ogni  prova in itinere ha un valore pari a circa 1/2 dei CFU totali della materia. Essi verranno acquisiti solo e soltanto dopo aver superato  entrambe le prove scritte e orali in itinere.

La prima prova in itinere si svolgerà durante il primo periodo di pausa delle lezioni.  Essa verterà sul  programma svolto nel primo periodo di lezioni..

La seconda prova in itinere si svolgerà alla fine del corso e verterà sulla seconda parte del programma (complementare alla prima parte). Generalmente, le date della prima e della seconda prova coincidono con quelle degli appelli previsti nella sessione di febbraio e giugno, rispettivamente, secondo il calendario delle prove scritte.

Le prove orali delle prove in itinere devono essere sostenute dopo il superamento  della prova scritta secondo un calendario da concordare  con il docente. Per la prima prova in itinere verrà concesso un periodo di 15 giorni massimo. La prova orale della seconda prova in itinere potrà essere sostenuta entro e non oltre le date d’esame previste dalla fine del corso fino alla sessione autunnale.

Chi non supera una delle due prove in itinere, dovrà sostenere l'esame finale (punto a)).

Il superamento di entrambe le prove in itinere scritte e orali permetterà il conseguimento dell' approvazione finale dell' esame e l' acquisizione dei CFU totali.

c) esame finale: l'esame finale consiste in una prova scritta ed una orale alla fine del corso annuale e secondo il calendario degli esami. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi. La prova orale verterà su tutti gli argomenti del programma svolto. Il docente avrà cura di pubblicarlo appena finito il corso e, comunque, prima dell'inizio della prima sessione d'esami.

La prova scritta avrà una durata di tre ora.

La prova scritta è fissata secondo il calendario degli esami. La prova orale si svolgerà secondo un calendario concordato con il docente. Di norma, la prova orale relativa ad un appello in cui si sia superata la prova scritta andrà sostenuta prima dell' appello successivo.

Per il superamento della prova scritta dell'esame finale lo studente dovrà svolgere almeno due quesiti di Algebra Lineare ed uno di Geometria (o viceversa). La votazione della prova scritta consigliata per sostenere la prova orale è non inferiore a 12/30. 

d) MODALITÀ DI VERIFICA DEI PREREQUISITI E ACCESSO ALL'ESAME

Il superamento dei contenuti previsti dal Syllabus dei Prerequisiti costituisce condizione necessaria per il successo formativo e per il superamento dell’esame di profitto. A tal fine, sono previste tre modalità alternative di verifica:

•    Opzione 1

Verifica Preventiva: Test pre-esame (Novembre/Dicembre) eventualmente a risposta multipla, il cui superamento è propedeutico all'ammissione alla prova finale o alle prove in itinere intermedie.

•    Opzione 2

Verifica Integrata: Per chi non sostiene o non supera il test preventivo, la prova scritta d'esame finale includerà una sezione specifica con quesiti eventualmente a riposta multipla sui prerequisiti. Il mancato raggiungimento della soglia minima in questa sezione rende la prova d’esame insufficiente.

•     Opzione 3

Verifica orale condizionata: Se lo studente che non ha superato la verifica preventiva sui prerequisiti (opzione 1) o la sezione dedicata ai prerequisiti nella prova scritta dell’esame finale (opzione 2) richiede di essere ammesso alla prova scritta dell’esame finale allora tale prova scritta deve essere preceduta da una verifica esplicita e prioritaria dei contenuti del Syllabus dei Prerequisiti. La verifica dei prerequisiti costituisce parte integrantedella prova scritta ed il mancato accertamento del possesso delle competenze minime previste dal Syllabus dei Prerequisiti comporta l’esito negativo dell’intero esame.

Per partecipare all'esame finale è necessario prenotarsi sul portale SmartEdu; per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica.

e)   criteri per l’attribuzione del voto: sia per le prove in itinere che per l'esame finale, si terrà conto: della chiarezza espositiva, della completezza delle conoscenze, della capacità di collegare diversi argomenti.  Lo studente deve dimostrare di aver acquisito una conoscenza sufficiente dei principali argomenti trattati durante il corso, e di essere in grado di svolgere almeno i più semplici tra gli esercizi assegnati. Si terrà in ogni caso conto, soprattutto nei primi appelli, del fatto che lo studente frequenta ancora il primo anno e difficilmente avrà acquisito la maturità che potrà essere invece richiesta negli anni successivi. Non è prevista la media tra il voto dello scritto e dell'orale. Viene anche considerata la frequenza/partecipazione ai tutorati previsti per l'insegnamento.

Per l'attribuzione del voto  si seguiranno, di norma, i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.
24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone,  risolve gli esercizi con pochi errori.
28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata — Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

Esercizi assegnati ed esercizi svolti sul teams dell'insegnamento (piattaforma MS Teams)

Domande frequenti esercizi/esami

1) Definizione di spazio vettoriale. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Esempi. Teorema sulle dimensioni di Nucleo ed Immagine di un’applicazione lineare. Teorema dell'omomorfismo e collegamento con l'insegnamento di Algebra. Controimmagine di un vettore. Teorema di Cramer e Rouchè-Capelli. Vettori linearmente indipendenti, Criterio di indipendenza lineare. Basi. Esempi. Criterio di indipendenza degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, endomorfismi diagonalizzabili. Diagonalizzazione di una matrice. Prodotti scalari reali. Matrice associate ad un prodotto scalare. Matrici ortogonali e loro caratterizzazioni. 

2) Rette nel piano e loro proprietà di incidenza. Rette e piani nello spazio e loro proprietà di incidenza.  Rette tangenti in un punto ad una ipersuperficie. Vertici. Coni e cilindri. Esempi di quadriche e loro significato geometrico. Sezioni piane di quadriche. Superfici di rotazione. 

3) Definizione di spazio affine. Affinità. Traslazioni. Omotetie. Spazi euclidei e trasformazioni ortogonali.