ANALISI MATEMATICA 1 PARTE A

Il corso fornisce le conoscenze di base del calcolo infinitesimale delle funzioni di una variabile e contribuisce  all'acquisizione  di capacità di ragionamento induttivo e deduttivo. 
In particolare gli obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino, sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi,  le successioni e le serie numeriche, i limiti delle funzioni di una variabile.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti da altri ambiti scientifici.

Autonomia di giudizio (making judgements): Lo studente sarà stimolato  ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui gli  studenti potranno confrontarsi criticamente tra loro, per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative (communication skills):La frequenza alle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza  le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta.

Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

 Capacità di apprendimento (learning skills): Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso le esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali. Per ogni argomento il docente svolgerà un congruo numero di  esercitazioni. Per sviluppare l’autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno delle esercitazioni guidate, in cui saranno proposti vari esercizi. Gli studenti potranno lavorare  singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e

Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) de Dipartimento di Matematica e Informatica.

 Lo studente deve possedere le conoscenze matematiche specifiche fornite da quasi tutti i percorsi formativi secondari, comprendenti le nozioni di base di aritmetica, algebra, di geometria euclidea e analitica, trigonometria, nonché di logica e comprensione verbale  ( vedi art. 2.3. del Regolamento didattico del CdS L-35 Matematica.)

 In particolare, si richiede che 

- sappia  operare con gli insiemi

- conosca gli insiemi numerici e, in particolare, le proprietà algebriche e di ordinamento dei numeri reali

- conosca la definizione  e le principali proprietà delle funzioni  potenza,  esponenziali,  logaritmiche e  trigonometriche.

- sia in grado di applicare le proprietà algebriche e di monotonia delle funzioni fondamentali per la risoluzione di semplici equazioni e disequazioni irrazionali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. 

La frequenza è fortemente consigliata ( vedi Regolamento Didattico del CdS L-35  Matematica  ).

Per monitorare e perfezionare la propria preparazione, agli studenti si consiglia  fortemente di frequentare anche le attività integrative e di approfittare delle ore di ricevimento del docente.

1. CENNI DI TEORIA DEGLI INSIEMI.

Operazioni insiemistiche e proprietà. Funzioni. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Insiemi infiniti. Funzioni invertibili. Funzioni composte. Relazioni binarie. Relazione di equivalenza e di ordine. Insiemi ordinati.

2. INSIEMI NUMERICI

L’insieme dei numeri naturali. Principio di induzione. Numeri interi relativi. Numeri razionali. Esistenza di numeri irrazionali. L’insieme dei numeri reali: struttura algebrica, ordinamento, completezza. Valore assoluto. Potenza con esponente naturale e intero. Esistenza ed unicità della radice n-esima. Risolubilità dell’equazione xⁿ =a . Potenza con esponente razionale e reale. Logaritmi.

 Densità dell’insieme dei numeri razionali e irrazionali nell’insieme dei numeri reali. Insiemi di numeri reali limitati. Estremi di un insieme numerico e relative proprietà.

La retta ampliata. Intervalli. Intorni di un punto. Punti interni, esterni e di frontiera. Interno e frontiera di un insieme. Punti di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Teorema di Bolzano.

L’insieme dei numeri complessi. Forma algebrica, forma trigonometrica, potenze e radici di un numero complesso.

 

3. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

 Funzioni reali di variabile reale. Dominio, immagine e grafico di una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzioni monotone, pari, dispari, periodiche. Funzioni elementari. Proprietà e grafici qualitativi delle funzioni elementari. Funzioni definite per casi. Ricerca del dominio di funzioni reali di variabile reale.

4. LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI

Definizione di limite. Limiti delle funzioni elementari. Limite di successioni. Limiti laterali. Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno e del confronto. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Successioni limitate. Estremi di una successione. Relazioni tra limite e estremi di una successione. Limite di funzioni monotone. Successioni monotone. Criterio del rapporto per le successioni e sue applicazioni. Numero di Neper. Limite della funzione composta. Limiti dedotti dal numero di Neper. .Legame tra limiti di funzioni e di successioni. Limiti notevoli. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Criterio di convergenza di Cauchy. Massimo e minimo limite. Successione delle medie aritmetiche e geometriche. Insiemi sequenzialmente compatti e loro caratterizzazione.Infinitesimi ed infiniti. Asintoti al grafico di una funzione.

5. FUNZIONI CONTINUE.

Definizione e proprietà delle funzioni continue. Teorema di esistenza degli zeri e dei valori intermedi . Immagine di una funzione continua in un intervallo. Teorema di Weierstrass. . Continuità delle funzioni monotone. Funzioni invertibili. Continuità delle funzioni inverse. Funzioni arcsenx, arccosx, arctgx.Continuità uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane.

6.SERIE NUMERICHE.

Carattere di una serie numerica. Serie di Mengoli, geometrica, armonica. Serie telescopiche . Condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. Operazioni con le serie. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, del rapporto, della radice, di Raabe e di condensazione. Serie armonica generalizzata. Criterio degli infinitesimi. Serie assolutamente convergenti. Serie esponenziale. Serie a segni alterni. Criteri per le serie a segni alterni. La serie logaritmica.
Serie prodotto secondo Cauchy. Proprietà commutativa e associativa.

Tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti si raccomanda di frequentare le lezioni. 

Frequentare regolarmente le lezioni e partecipare attivamente ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

 

 

Per la teoria:

1. P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Zanichelli

2. C.D.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.

3. G.Di Fazio, P.Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editore

4. J.P.Cecconi, G.Stampacchia, Analisi Matematica, volume 1, Liguori

5. E.Giusti,  Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri

 

Per gli esercizi

6. M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Esculapio

7. T. Caponetto, G. Catania, Esercizi di analisi Matematica 1, Culc.

8.. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol.1, Parte I e II, Liguori

9. E.Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, volume primo, Bollati Boringhieri

10. G. Di Fazio, P.Zamboni, Eserciziari per l'Ingegneria, EdiSES

La valutazione delle conoscenze viene effettuata tramite un esame finale oppure tramite due verifiche e una prova di fine corso.

 L'ESAME FINALE consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale su tutto il programma svolto.  La prova scritta è composta da 5 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta. Il colloquio orale dovrà essere svolto entro la sessione in cui è stata svolta la prova scritta. 

La prenotazione per gli appelli d’esame è obbligatoria e deve essere fatta esclusivamente  attraverso il portale studenti SmartEdu  entro il periodo previsto.

Durante il corso si svolgeranno 2  VERIFICHE sui seguenti argomenti

• Teoria degli insiemi - insiemi numerici (prima verifica)
•  Funzioni reali- Limiti di funzioni e successioni  (seconda verifica) 

e una PROVA DI FINE CORSO sui seguenti argomenti

• Funzioni  continue- Serie numeriche. 

La prima verifica verrà svolta  entro la seconda settimana di novembre.

La seconda verifica durante la   sospensione didattica.

La prova di fine corso verrà svolta  in concomitanza di uno degli appelli della prima sessione.

Ogni verifica consiste in una prova scritta composta da due parti:

A) quesiti teorici, anche a risposta multipla

B) esercizi tecnici

Superano la singola verifica i candidati che riportano una votazione maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B.

Gli studenti che superano solo una delle due  verifiche possono recuperare la verifica non superata nella stessa data in cui si svolgerà la prova di fine corso. 

La PROVA DI FINE CORSO consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da 3 esercizi. Accederanno al colloquio orale i candidati che avranno riportato una votazione maggiore o uguale a 18/30 nella parte scritta.

Il voto finale è dato, di norma, dalla media aritmetica dei voti ottenuti nelle verifiche e nella prova di fine corso.

La prenotazione per le verifiche e per  la prova di fine corso è obbligatoria. Le modalità di prenotazione verranno comunicate in aula e su Studium.

Per l'attribuzione del voto delle singole prove (verifiche, prova  di fine corso,  prova finale) si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente ha acquisito  i concetti di base e riesce a risolvere semplici esercizi. La sua abilità comunicativa e la sua  capacità di collegamento dei contenuti appresi sono appena sufficienti.

24-27:  lo studente ha  una buona padronanza dei contenuti del corso, risolve esercizi più complessi con pochi errori. Possiede buone abilità comunicative e capacità di collegamento dei contenuti appresi.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di risolvere  gli esercizi proposti  in modo completo e senza errori. Possiede eccellenti capacità comunicative e di apprendimento. Ottima la sua capacità  di collegamento dei contenuti appresi.

  

 Per partecipare all'esame finale è necessario avere effettuato la prenotazione sul portale SmartEdu. Per eventuali problemi tecnici relativi alla prenotazione occorre rivolgersi alla Segreteria didattica

 

 

 

Su Studium verranno pubblicati raccolte di esercizi e prove d'esame già assegnate.