ANALISI MATEMATICA II

Gli studenti devono essere capaci di studiare proprietà qualitative e quantitative di funzioni di più variabili e applicarle a problemi sia teorici che pratici. Sapere risolvere un'equazione differenziale o un sistema di equazioni differenziali di difficoltà non elevata. Vengono inoltre fornite le necessarie competenze per potere proseguire lo studio di altri insegnamenti dove le competenze di Analisi Matematica sono necessarie. 

Obiettivi formativi generali dell'insegnamento in termini di risultati di apprendimento attesi.

1. Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): l'obiettivo del corso è quello di far acquisire i  fondamenti teorici ed alcuni applicazioni riguardanti il Calcolo Differenziale & Integrale per funzioni di più variabili reali.
2. Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per studiare semplici modelli. 
3. Autonomia di giudizio (making judgements): Attraverso esempi concreti ed esercizi lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente proprie soluzioni ad alcuni semplici problemi.
4. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà ulteriori abilità comunicative e di appropriatezza espressiva nell'impiego del linguaggio teorico nell'ambito generale dell'Analisi Matematica.
5. Capacità  di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente le necessarie metodologie teoriche e pratiche per poter affrontare e risolvere autonomamente problematiche che dovessero sorgere durante l'attività progettuale.

Lezioni alla lavagna

 Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro DMI.

I contenuti del corso di Analisi Matematica I e alcuni argomenti di Algebra Lineare e di Geometria 

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata al pari della frequenza all'attività di tutorato.

N.B.: gli argomenti contrassegnati con un asterisco (*) devono essere considerati saperi minimi irrinunciabili.

1. Successioni e Serie di Funzioni

*Successioni di funzioni. *Serie di funzioni. *Convergenza puntuale, uniforme e totale. Teoremi di continuità, di integrazione per serie e di derivazione per serie (solo enunciati). *Serie di potenze nel campo reale. *Raggio di convergenza. Teoremi di D'Alembert e di Cauchy-Hadamard. *Raggio di convergenza della serie derivata. Teoremi di derivazione ed integrazione per serie di potenze (solo enunciati). *Serie di Taylor. *Criterio per la sviluppabilità in serie di Taylor. *Sviluppi in serie notevoli.

2. Funzioni reali di più variabili reali

Elementi di topologia in Rⁿ. Insiemi limitati. Aperti connessi. *Limiti e continuità. Teorema di Weierstrass. *Derivate parziali. Derivate successive. *Teorema di Schwarz (solo enunciato). *Gradiente. *Differenziabilità. *Differenziabilità e continuità. Teorema del differenziale. *Funzioni composte. Teorema di derivazione delle funzioni composte. *Funzioni a gradiente nullo in un connesso. *Estremi relativi. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per un estremo relativo. Funzioni implicite. Teorema di U. Dini. Curve piane e sghembe. Massimi e minimi vincolati. Metodi di esplicitazione del vincolo e dei moltiplicatori di Lagrange. Una condizione sufficiente per un estremo vincolato.

3. Integrali curvilinei e forme differenziali in Rⁿ

*Curve regolari. Vettore tangente e vettore normale di una curva regolare in un punto. *Rettificabilità. *Lunghezza di una curva regolare. Curve orientate. Ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione. *Forme differenziali. *Integrale curvilineo di una forma differenziale. *Forme differenziali esatte. *Teorema di integrazione delle forme differenziali esatte. *Caratterizzazione delle forme differenziali esatte. *Potenziale di una forma differenziale. *Forme differenziali chiuse. *Forme differenziali in un aperto semplicemente connesso di Rⁿ.

4. Misura ed integrale di Lebesgue

Misura secondo Lebesgue dei rettangoli e dei pluri-rettangoli di Rⁿ. Misura degli insiemi aperti limitati non vuoti e degli insiemi sequenzialmente compatti. Nozione di misurabilità per gli insiemi limitati e per gli insiemi non necessariamente limitati. Proprietà: isotonia, finita additività, sottrattività, σ-additività, continuità verso l'alto e verso il basso, invarianza per traslazioni, completezza. Funzioni misurabili e relative proprietà. Successioni di funzioni misurabili. Funzioni semplici. Cenni sulla teoria dell'integrazione secondo Lebesgue in Rⁿ. Definizione di integrale per le funzioni misurabili e non negative in insiemi misurabili. Prime proprietà: monotonia, isotonia, omogeneità. Teorema di B. Levi. Lemma di Fatou. Ulteriori proprietà dell'integrale: additività rispetto alla funzione integranda, σ-additività rispetto all'insieme di integrazione, continuità verso l'alto e verso il basso, insiemi di misura zero. Funzioni sommabili. Proprietà. Teorema di Lebesgue. Confronti fra l'integrale di Lebesgue e l'integrale elementare.

5. Calcolo integrale per funzioni di più variabili

Misura e integrazione negli spazi prodotto. Formule di riduzione per gli integrali multipli. Teoremi di Fubini e di Tonelli. Teoremi sui cambiamenti di variabili negli integrali multipli. Coordinate polari nel piano e nello spazio, coordinate cilindriche.

6. Superfici. Integrali di superficie. La formula di Stokes e il teorema della divergenza

Superfici regolari in Rⁿ. Piano tangente e vettore normale. *Teorema di Gauss-Green. *Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Area di una superficie, integrali superficiali, flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie, forme differenziali quadratiche.

7. Teoria delle equazioni differenziali ordinarie

Definizioni e terminologia. Teorema di Peano. *Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy relativo a un'equazione differenziale del primo ordine in forma normale. Teorema di esistenza e unicità globale, soluzioni massimali. *Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari, di Bernoulli, esatte e di Clairaut. *Equazioni differenziali lineari: struttura dell'insieme delle soluzioni, metodo della variazione delle costanti arbitrarie. *Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Equazioni di Eulero. *Sistemi di equazioni differenziali lineari. *Matrice esponenziale.

8. Spazi metrici

Spazi metrici. Intorni. Punti interni, di frontiera e di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi aperti, chiusi e limitati. Diametro di un insieme. Convergenza. Completezza. Funzioni lipschitziane e Teorema delle contrazioni. Sequenziale compattezza. Chiusura e sua caratterizzazione mediante le successioni. Teorema di Cantor. Spazio euclideo Rⁿ. Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e di Minkowski. Teoremi di Heine-Borel e di Bolzano-Weierstrass. Insiemi convessi, connessi e connessi per spezzate.

9. Elementi di Calcolo delle Variazioni ed Equazioni differenziali alle derivate parziali

Il problema della brachistocrona. Funzionali. Equazione di Eulero-Lagrange. Condizioni necessarie per un estremo. Esempi ed applicazioni. Cenni alle equazioni differenziali alle derivate parziali del primo e del secondo ordine.

CONTRIBUTO DELL'INSEGNAMENTO AL RAGGIUNGIMENTO DEGLI OBIETTIVI DELL'AGENDA 2030 PER LO SVILUPPO SOSTENIBILE

●      Obiettivo 4 – Istruzione di qualità: fornire una solida formazione matematica di base, propedeutica a percorsi di studio e professionali avanzati.

●      Obiettivo 5 – Parità di genere: garantire pari opportunità di accesso e di apprendimento a tutti gli studenti e le studentesse.

●      Obiettivo 8 – Lavoro dignitoso e crescita economica: contribuire alla formazione di competenze scientifiche spendibili nel mondo del lavoro.

si intende contribuire al Goal 4 obiettivo 4.4 mediante lezione frontale informativa sull'argomento.

1.  N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica due, Liguori Editore.

2.  M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica due, Zanichelli.
3.  G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica Due, seconda edizione, Ed. Monduzzi.
4.  P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Matematica vol. 2, Liguori Editore.
5.  M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2.

N.B. : In grassetto il testo principale.

1.              L'esame finale consiste in un elaborato scritto suddiviso in due sezioni — sezione A (quesiti pratici e teorici relativi al programma svolto nel primo periodo didattico) e sezione B (quesiti pratici relativi al programma svolto nel secondo periodo didattico) — e in una prova orale sulla parte di programma trattata nel secondo periodo didattico.

2.              Al termine del primo periodo didattico è prevista una prova in itinere, riservata agli studenti frequentanti, con quesiti teorici e pratici sugli argomenti del programma svolti in tale periodo.

3.              Il superamento della prova in itinere, con una votazione minima di 18/30, esonera lo studente dallo svolgere i quesiti della sezione A nell'esame finale.

4.              I benefici del superamento della prova in itinere restano validi fino al termine della terza sessione di esami del corrente Anno Accademico.

5.              Gli studenti che non hanno sostenuto o non hanno superato la prova in itinere dovranno svolgere l'intero elaborato scritto (sezioni A e B) nell'esame finale.

NOTA BENE: la valutazione finale terrà conto della correttezza, del rigore e della chiarezza espositiva, sia nella prova scritta sia nella prova orale.

●      30 e lode / 30: prova eccellente, piena padronanza degli argomenti, capacità di collegamento e rigore espositivo completo.

●      26-29: prova buona/ottima, con qualche lieve imprecisione.

●      21-25: prova discreta, con alcune lacune non gravi.

●      18-20: prova sufficiente, con conoscenza degli argomenti essenziali.

●      Non approvato: prova insufficiente, lacune gravi e/o diffuse.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata — Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

Alla pagina https://www.dmi.unict.it/difazio/ si possono trovare alcune prove scritte da cui si può trarre spunto per esercitarsi e per capire cosa attendersi all'esame. Nella stessa pagina verranno pubblicati ulteriori file contenenti esercizi relativi agli argomenti del corso.

●      Forme differenziali.

●      Relazione tra derivabilità e differenziabilità per una funzione di due o più variabili reali.

●      Estremi condizionati di una funzione.

●      Teorema di Gauss-Green.

●      Misura di Lebesgue.