ANALISI MATEMATICA 1 PARTE B

Gli studenti devono essere capaci di studiare proprietà qualitative e quantitative di funzioni di una variabile e applicarle a problemi sia teorici che pratici. Sapere disegnare il grafico di una funzione motivandolo in base alle informazioni teoriche acquisite.  Sapere risolvere un'equazione differenziale di difficoltà non elevata. Vengono inoltre fornite le necessarie competenze per affrontare in modo efficace il successivo corso di Analisi Matematica II. 

Obiettivi formativi generali dell'insegnamento in termini di risultati di apprendimento attesi.

1. Conoscenza e capacità  di comprensione (knowledge and understanding): l'obiettivo del corso è quello di far acquisire i  fondamenti teorici ed alcuni applicazioni riguardanti il Calcolo Differenziale & Integrale per funzioni di una variabile reale.
2. Capacità  di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per studiare semplici modelli. 
3. Autonomia di giudizio (making judgements): Attraverso esempi concreti ed esercizi lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente proprie soluzioni ad alcuni semplici problemi.
4. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà ulteriori abilità comunicative e di appropriatezza espressiva nell'impiego del linguaggio teorico nell'ambito generale dell'Analisi Matematica.
5. Capacità  di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente le necessarie metodologie teoriche e pratiche per poter affrontare e risolvere autonomamente problematiche che dovessero sorgere durante l'attività progettuale.

Lezioni alla lavagna

I contenuti dell'insegnamento Analisi Matematica I - parte A

Vivamente consigliata.

1.Calcolo Differenziale.

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per funzioni derivabili in un intervallo. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Teoremi di de l'Hopital. Formula di Taylor. Funzioni convesse in un intervallo.  Derivate delle funzioni a valori complessi. Successioni ricorsive. Risoluzione numerica di equazioni: Metodo di Newton e Metodo delle corde.

2.Calcolo Integrale.

Integrale secondo Riemann. Definizione, proprietà e significato geometrico. Esempio di funzione non integrabile. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità, delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate. Proprietà: linearità rispetto all'integrando, positività, monotonia, additività rispetto all'intervallo di integrazione. Integrabilità del valore assoluto di una funzione integrabile e sua stima. Teoremi della media. Primitive. Esempio di funzione che non ha primitive. Funzione integrale di una funzione continua e Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema di Torricelli. Integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per razionalizzazione di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali generalizzati e impropri. Criteri di sommabilità e di assoluta sommabilità.Integrali impropri e serie numeriche. Integrali di funzioni a valori complessi.

3. Equazioni differenziali.

Definizione di equazione differenziale e definizione di soluzione. Problema di Cauchy. Condizione sufficiente di unicità*.  Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali di tipo omogeneo (di Manfredi). Equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo a coefficienti costanti. Equazioni differenziali a coefficienti complessi. Metodo di variazione dei parametri di Lagrange. Applicazione ai moti armonici.

La lista dei testi è disponibile alla pagina https://www.dmi.unict.it/difazio/didattica/AMI/libri 

L'esame relativo al II modulo consiste nella risoluzione di alcuni esercizi teorici e pratici inerenti gli argomenti svolti durante il corso. Nel caso in cui lo svolgimento degli esercizi venga reputato sufficiente l'esame potrà essere completato da un breve colloquio.

Alla pagina https://www.dmi.unict.it/difazio/ si possono trovare alcune prove scritte da cui si può trarre spunto per esercitarsi e per capire cosa attendersi all'esame. Nella stessa pagina verranno pubblicati ulteriori file contenenti esercizi relativi agli argomenti del corso.