ELEMENTS OF ADVANCED GEOMETRY

1. Conoscenza e comprensione: lo Studente sarà in grado di comprendere e assimilare i concetti base della Geometria Differenziale e della Geometria Algebrica.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: lo Studente sarà in grado di acquisire un appropriato livello di autonomia nella conoscenza teorica basilare di queste discipline.

3. Autonomia di giudizio: capacità di riflessione e di collegamento tra nozioni apparentemente distanti tra loro. 

4. Abilità comunicative: capacità di comunicare le nozioni acquisite attraverso un linguaggio scientifico adeguato.

5. Capacità di apprendimento: capacità di approfondimento e di sviluppo delle conoscenze acquisite. 

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

1) Categorie. Morfismi. Monomorfismi ed epimorfismi. Funtori. Trasformazioni naturali. Esempi. Equivalenza di categorie. Diagrammi. Limiti e colimiti. Prodotti e coprodotti. Oggetto finale ed iniziale. Categorie complete e cocomplete.

2) Prefasci. Fasci. Fascio associato ad un prefascio. Stelo di un prefascio in un punto. Fascio delle funzioni continue su uno spazio topologico. Morfismi di prefasci. Spazio étalè. Immagine diretta e inversa di fasci. 

3) Spazi anulati. Fascio strutturale. Spazi localmente anulati. Fascio delle algebre di funzioni differenziabili su uno spazio topologico. Morfismi di spazi localmente anulati.

4) Varietà topologiche. Varietà differenziabili. Diffeomorfismi. Categoria delle varietà differenziabili. Esempi. Linearizzazione di varietà differenziabili. Derivazioni. Spazio tangente ad una varietà differenziabile. Campi vettoriali. Fibrato tangente.

5) Spettro di un anello commutativo con unità. Topologia di Zariski. Fascio strutturale su uno spettro. Schemi affini. Categoria degli anelli commutativi con unità. Schemi. Esempi. Proprietà di schemi.

Contributo dell’insegnamento agli obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile

Goal N. 4: ISTRUZIONE DI QUALITÁ

Assicurare un’istruzione di qualità, equa ed inclusiva, e promuovere opportunità di apprendimento permanente per tutti 

Goal  N. 5:  PARITÁ DI GENERE

Raggiungere l'uguaglianza di genere e l'empowerment (maggiore forza, autostima e consapevolezza) di tutte le donne e le ragazze

Goal N. 8: LAVORO DIGNITOSO E CRESCITA ECONOMICA

Incentivare una crescita economica duratura, inclusiva e sostenibile, un'occupazione piena e produttiva ed un lavoro dignitoso per tutti

[W] Wedhorn, Torsten. Manifolds, sheaves, and cohomology. Springer Spektrum, 2016.

[H] Hartshorne, Robin. Algebraic geometry. Vol. 52. Springer Science & Business Media, 2013.

[B] Boothby, William M. An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Revised. Vol. 120. Gulf Professional Publishing, 2003.

Criterio di attribuzione dei voti:

- non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

- 18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste.

- 24-27:  lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone.

- 28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico.

Cosa è un funtore?

Come si costruisce il fascio associato ad un prefascio?

Come si definisce lo spazio tangente?

Dimostrare che l'insieme degli ideali primi di un anello commutativo con unità forma uno spazio topologico (topologia spettrale).

Fornire esempi di schemi.