ANALISI MATEMATICA 1 PARTE B

Conoscenza e capacità di comprensione

Il corso fornisce le conoscenze di base del calcolo infinitesimale delle funzioni di una variabile e contribuisce all'acquisizione di capacità di ragionamento induttivo e deduttivo. Lo studente apprenderà i concetti matematici fondamentali e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le serie numeriche, le derivate, gli integrali e le equazioni differenziali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite nella modellizzazione matematica di problemi classici derivanti da altri ambiti scientifici.

Autonomia di giudizio

Lo studente sarà stimolato ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a svolgere esercizi sugli argomenti trattati. Sono previsti seminari per illustrare gli argomenti studiati ed esercitazioni in cui gli studenti potranno confrontarsi criticamente tra loro, per discutere e individuare le soluzioni corrette degli esercizi.

Abilità comunicative

La frequenza alle lezioni e la lettura dei libri consigliati aiuteranno lo studente a familiarizzare con il linguaggio matematico. Attraverso le esercitazioni e i seminari apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza le conoscenze acquisite, sia in forma orale che scritta. Alla fine del corso lo studente avrà imparato che il linguaggio matematico è utile per comunicare con chiarezza in ambito scientifico.

Capacità di apprendimento

Lo studente sarà guidato a perfezionare il proprio metodo di studio. In particolare, attraverso le esercitazioni guidate sarà in grado di affrontare autonomamente nuovi argomenti riconoscendo i prerequisiti necessari per la loro comprensione.

Il corso è articolato in 9 CFU di cui 7 CFU (49 ore) dedicati alle lezioni frontali e 2 CFU (24 ore) dedicati alle esercitazioni.

I concetti e i metodi oggetto del corso saranno presentati mediante lezioni frontali (Didattica Erogativa). Per ogni argomento il docente svolgerà un congruo numero di esercitazioni. Per sviluppare l'autonomia di giudizio e le abilità comunicative, e per rendere la partecipazione alle lezioni più attiva e fruttuosa, in alcune ore si svolgeranno esercitazioni guidate (Didattica Interattiva), in cui saranno proposti vari esercizi. Gli studenti potranno lavorare singolarmente o in gruppo e confrontarsi.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto sopra dichiarato, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel presente syllabus.

1. Complementi sulle serie. Principali criteri di convergenza; rappresentazione in base b; serie a valori complessi; esponenziale complesso; cenni sulle serie di funzioni e di potenze. Somme su insiemi infiniti. Teorema di Riemann^*

2.Calcolo Differenziale.

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate di ordine superiore. Teorema di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange. Caratterizzazione della monotonia per funzioni derivabili in un intervallo. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Teorema di Darboux. Teoremi di de l'Hopital. Formula di Taylor. Condizioni sufficienti per gli estremi relativi. Funzioni convesse in un intervallo e loro caratterizzazione mediante derivate. Condizione necessaria per i punti di flesso. Applicazioni: studi di funzione; successioni definite per ricorrenza. 

3.Calcolo Integrale.

Integrale secondo Riemann. Definizione, proprietà e significato geometrico. Esempio di funzione non integrabile. Integrabilità delle funzioni continue, delle funzioni monotone, delle funzioni continue a tratti. Proprietà: linearità rispetto all'integrando, monotonia, concatenazione. Teoremi della media. Primitive e integrali indefiniti. Esempio di funzione senza primitive. Teorema fondamentale del calcolo integrale, controesempi e varianti. Teorema di Torricelli.  Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali, di alcune classi di funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali generalizzati e impropri. Sommabilità, assoluta sommabilità e criteri sufficienti. Integrali impropri e serie numeriche. Applicazioni: formula di Stirling e formula di Taylor con resto integrale.

4. Equazioni differenziali.

Definizione di equazione differenziale e definizione di soluzione. Problema di Cauchy. Condizione sufficiente di unicità*.  Equazioni differenziali a variabili separabili, lineari del primo ordine, di Manfredi, di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo a coefficienti costanti.  Metodo di variazione delle costanti di Lagrange. Applicazione ai moti armonici.

Teoria ed esercizi

1.   P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori

2.   E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri 

3.   J. P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica, vol 1, Liguori

4.   G. Di Fazio, P. Zamboni, Analisi Matematica 1, Monduzzi Editore

5.   G. De Marco, Analisi Uno, Zanichelli 

Solo Esercizi (in ordine di difficoltà)

1.   M. Sabatini, 400 test di Analisi matematica 1, Zanichelli

2.   E. Giusti, Esercizi e complementi di Analisi Matematica, vol. 1, Bollati Boringhieri

3.   G. De Marco, C. Mariconda, Esercizi di calcolo in una variabile, Zanichelli/Decibel  

4.   G. Demidovich, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti

5.   C. Mantegazza, Esercizi di Analisi 1 dal corso del primo anno della Scuola Normale Superiore

L'esame consiste in una prova scritta, superata la quale si accede ad un colloquio orale obbligatorio da sostenersi entro la sessione dell'esame. La prova scritta è così articolata:

Parte 1) Test a risposta multipla di cinque quesiti della durata di 15 minuti. Le risposte corrette vengono fornite alla fine del test e per accedere alla seconda parte dello scritto occorre aver fornito almeno tre risposte corrette.

Parte 2) Risoluzione di quattro esercizi di carattere teorico e pratico e inerenti gli argomenti svolti durante il corso. Durata della seconda parte 120 minuti.

La valutazione finale della parte scritta sarà data dal voto della parte 2 (da 6 a 8 punti per esercizio a seconda della sua difficoltà) più un punto per ogni quesito corretto della parte 1. Si supera la prova scritta con votazione complessiva di almeno 18.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l'integrazione Attiva e Partecipata – Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del proprio Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

• Studiare il carattere di una serie, eventualmente al variare di un parametro.
  
• Determinare il comportamento qualitativo del grafico di una funzione
• Calcolare un limite, eventualmente al variare di un parametro, utilizzando gli sviluppi in serie di Taylor
• Calcolare il limite di una successione definita per ricorrenza
• Calcolare un integrale definito/indefininto/improprio
• Studiare la sommabilità di una funzione in dipendenza da un parametro
• Risolvere un problema di Cauchy