NUMERICAL METHODS FOR APPLIED SCIENCES

Gli obiettivi formativi del corso sono i seguenti:

Conoscenza e comprensione di algoritmi numerici.

Analizzare e scegliere le tecniche appropriate per risolvere problemi numerici.

Utilizzo di software specialistici per problemi computazionali.

Sintetizzare concetti tratti dall'algebra lineare, dall'analisi matematica e dall'analisi numerica e applicarli per trovare soluzioni numeriche a problemi reali.

Comprensione del processo di costruzione di modelli matematici in una vasta gamma di aree di applicazione.

Ideazione, validazione e interpretazione di modelli matematici basati su problemi del mondo reale.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): uno degli obiettivi di questo corso è la conoscenza e comprensione di algoritmi numerici per la risoluzione di sistemi lineari e la ricerca degli autovalori di una matrice. Lo studente sarà in grado di conoscere metodi avanzati di risoluzione quali i metodi multigrid.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): grazie all’utilizzo di software specialistici per problemi computazionali, gli studenti sapranno applicare la conoscenza in casi pratici. L’implementazione al calcolatore permetterà loro di verificare con mano le proprietà dei metodi numerici, consentendo un apprendimento approfondito dei concetti teorici e pratici.

Autonomia di giudizio (making judgments): lo studente riuscirà ad analizzare e scegliere le tecniche appropriate per risolvere problemi numerici, quali ad esempio la scelta tra un metodo diretto e un metodo iterativo, riconoscendo quali siano più efficienti ed accurati in base all’applicazione reale.

Sarà in grado di sintetizzare concetti tratti dall'algebra lineare, dall'analisi matematica e dall'analisi numerica e applicarli per trovare soluzioni numeriche a problemi reali.

Abilità comunicative (communication skills): l’elaborazione di un progetto permetterà allo studente di migliorare le capacità comunicative sia verso un pubblico specialistico che generale.

Capacità di apprendimento (learning skills): la partecipazione interattiva alle lezioni frontali nonché alle esercitazioni di gruppo permetterà allo studente di affinare le proprie capacità di apprendimento e la comprensione dei modelli matematici in diverse aree di applicazione.

Lezioni frontali alternate ad esercitazioni individuali e di gruppo.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof. Filippo Stanco.

Buona conoscenza di spazi vettoriali e delle proprietà delle matrici, metodi diretti (fattorizzazione LU) e iterativi (Jacobi e Gauss-Seidel) per la risoluzione di sistemi lineari.

Fortemente consigliata.

Il corso comprende l'analisi di algoritmi numerici per risolvere o approssimare accuratamente problemi di algebra lineare, come sistemi lineari e problemi agli autovalori.

Mira inoltre a fornire solide capacità di implementazione sviluppando piccoli programmi software dei diversi algoritmi numerici studiati, con applicazioni a problemi del mondo reale.

Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari.

Introduzione ai proiettori. Definizione di proiettori e proprietà complementari. Proiettore ortogonale e teorema di caratterizzazione. Fattorizzazione QR per matrici rettangolari: fattorizzazione completa e ridotta. Algoritmo di Gram-Schmidt: classico e modificato e loro proprietà di stabilità. Triangolarizzazione di Householder.

Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari.

Definizione della classe dei metodi di Krylov. Alcuni esempi: GMRES, discesa del gradiente, gradiente coniugato.

Metodi multigrid.

Discretizzazione di equazioni ellittiche. Proprietà di smoothing di alcuni schemi di rilassamento: Jacobi, weighted-Jacobi e Gauss-Seidel. Two-Grid Correction Scheme: operatori di restrizione e interpolazione. Esempio di iterazioni multigrid: V-cycle, W-cycle, F-cycle. Fattore di convergenza e costo computazionale.

Problemi agli autovalori.

Riduzione di Hessenberg, metodi QR senza shift e con shift di Wilkinson, algoritmo Divide-and-Conquer.

Modelli matematici.

Descrizione dettagliata del processo di modellizzazione matematica. Applicazioni reali a problemi risolvibili con metodi multigrid: elettromagnetismo, gravità, deformazione elastica, processi di diffusione.

Matematica finanziaria.

Introduzione alle opzioni put e call europee. Strategia di trading e opportunità di arbitraggio. Teorema fondamentale del prezzo degli asset. Misura di probabilità neutrale al rischio. Ottimizzazione ed esercizi.

1.     Trefethen, L. N., & Bau III, D. (1997). Numerical linear algebra (Vol. 50). Siam.  

2.     Briggs, W. L., Henson, V. E., & McCormick, S. F. (2000). A multigrid tutorial. Society for Industrial and Applied Mathematics. 

3.     Tung, K. K., & Tung, K. K. (2007). Topics in mathematical modeling. Princeton, NJ: Princeton University Press.

4.     Campolieti, G., & Makarov, R. N. (2018). Financial mathematics: a comprehensive treatment. Chapman and Hall/CRC.

1. Progetto, valutato in trentesimi (incide per il 50% sul voto finale)

2. Prova orale, valutata in trentesimi (incide per il 50% sul voto finale)

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Principali differenze tra fattorizzazione QR e triangolarizzazione di Householder. Teorema di caratterizzazione di proiettori ortogonali e dimostrazione. Esempio di problemi in cui il metodo di Gram-Schmidt modificato è più accurato di quello classico. Proprietà di convergenza del metodo del gradiente coniugato. Fattore di smoothing di Jacobi pesato. Relazione tra operatori di interpolazione e di restrizione in forma matriciale. Equazione secolare e rappresentazione grafica dell'algoritmo Divide-and-Conquer. Descrizione delle fasi del processo di modellizzazione. Esempio di opportunità di arbitraggio in matematica finanziaria.