COMPLEMENTI DI ALGEBRA

L'obiettivo del corso è duplice: in primo luogo presentare la teoria di Galois che ha un ruolo storico-culturale molto importante per un matematico. In secondo luogo, far progredire gli studenti nella comprensione dell'algebra e dei suoi metodi; in particolare, gli studenti affronteranno dimostrazioni profonde, in cui entrano in gioco tutte le nozioni (apparentemente distinte) studiate nel corso di Algebra al primo anno e, attraverso le esercitazioni in classe, gli studenti impareranno a utilizzare i concetti imparati e a sviluppare ragionamenti di tipo astratto.

In particolare, il corso si propone di fa acquisire agli studenti le seguenti competenze:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali della Teoria di Galois; sviluppare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati algebrici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi; costruire dimostrazioni rigorose; risolvere problemi della Teoria di Galois che richiedono un pensiero originale; essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli;

Autonomia di giudizio (making judgements): acquisire una consapevole autonomia di giudizio con riferimento alla valutazione e interpretazione della risoluzione di un problema algebrico; essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative (communication skills): saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni, nonché le conoscenze e la ratio ad esse sottese; sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile.

Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato un maggior grado di autonomia nello studio.

Algebra di base

Fortemente consigliata

Il corso presenta la teoria di base delle estensioni di campi (estensioni finite, finitamente generate, algebriche, separabili, normali) e, successivamente, la teoria di Galois, nel caso delle estensioni finite. Infine vengono date alcune applicazioni della teoria di Galois, come il teorema fondamentale dell'algebra, le costruzioni con riga e compasso e la risolubilità/non risolubilità delle equazioni polinomiali.

I parte: estensioni di campi.

Campi e caratteristica; estensioni finite; elementi algebrici e trascendenti; estensioni algebriche; estensioni finitamente generate; campo di spezzamento di un polinomio; chiusura algebrica di un campo; campi finiti; estensioni separabili; polinomi simmetrici; estensioni normali.

II parte: teoria di Galois.

Isomorfismi e automorfismi di campi; estensioni di isomorfismi; gruppo di Galois di un'estensione; estensioni galoissiane; teorema fondamentale della teoria di Galois.

III parte: applicazioni.

Teorema fondamentale dell'algebra; estensioni ciclotomiche; costruzioni con riga e compasso; gruppi risolubili; norma traccia e discriminante; estensioni cicliche; teorema di Abel-Ruffini; formule risolutive delle equazioni di terzo grado.

1) Piacentini Cattaneo "Algebra. Un approccio algoritmico", Zanichelli 1996

2) S. Gabelli, Teoria delle equazioni e teoria di Galois, Spinger, 2008

Verranno assegnati esercizi di tipo sia teorico che pratico; se risolti con votazione almeno sufficiente si passerà ad un esame orale. Non si terrà conto dei risultati delle esercitazioni svolte durante il corso

Trovare il grado di una estensione di campi; trovare il campo di spezzamento di un polinomio; trovare il gruppo di Galois di una estensione di campi