COMPLEMENTI DI ALGEBRA
Anno accademico 2016/2017 - 3° anno - Curriculum GENERALECrediti: 6
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 102 di studio individuale, 48 di lezione frontale
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
L'obiettivo del corso è duplice: in primo luogo presentare la teoria di Galois che ha un ruolo storico-culturale molto importante per un matematico. In secondo luogo, far progredire gli studenti nella comprensione dell'algebra e dei suoi metodi; in particolare, gli studenti affronteranno dimostrazioni profonde, in cui entrano in gioco tutte le nozioni (apparentemente distinte) studiate nel corso di Algebra al primo anno e, attraverso le esercitazioni in classe, gli studenti impareranno a utilizzare i concetti imparati e a sviluppare ragionamenti di tipo astratto.
Prerequisiti richiesti
Algebra di base
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata
Contenuti del corso
Il corso presenta la teoria di base delle estensioni di campi (estensioni finite, finitamente generate, algebriche, separabili, normali) e, successivamente, la teoria di Galois, nel caso delle estensioni finite. Infine vengono date alcune applicazioni della teoria di Galois, come il teorema fondamentale dell'algebra, le costruzioni con riga e compasso e la risolubilità/non risolubilità delle equazioni polinomiali.
I parte: estensioni di campi.
Campi e caratteristica; estensioni finite; elementi algebrici e trascendenti; estensioni algebriche; estensioni finitamente generate; campo di spezzamento di un polinomio; chiusura algebrica di un campo; campi finiti; estensioni separabili; polinomi simmetrici; estensioni normali.
II parte: teoria di Galois.
Isomorfismi e automorfismi di campi; estensioni di isomorfismi; gruppo di Galois di un'estensione; estensioni galoissiane; teorema fondamentale della teoria di Galois.
III parte: applicazioni.
Teorema fondamentale dell'algebra; estensioni ciclotomiche; costruzioni con riga e compasso; gruppi risolubili; norma traccia e discriminante; estensioni cicliche; teorema di Abel-Ruffini; formule risolutive delle equazioni di terzo grado.
Testi di riferimento
1) Piacentini Cattaneo "Algebra. Un approccio algoritmico", Zanichelli 1996
2) S. Gabelli, Teoria delle equazioni e teoria di Galois, Spinger, 2008
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | Gruppi; campi | 1) |
| 2 | * | Teoria dei campi; Teoria di Galois | 2) |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Durante il corso si svolgeranno esercitazioni in classe che permetteranno al docente di conoscere gli studenti, insegnado loro a ragionare con i concetti appena appresi.
L'esame consisterà di una prova scritta e/o una orale.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Trovare il grado di una estensione di campi; trovare il campo di spezzamento di un polinomio; trovare il gruppo di Galois di una estensione di campi