ANALISI MATEMATICA II

Lo studente continuerà l’acquisizione dei concetti dell’Analisi Matematica. Le tematiche affrontate saranno collegate a concetti appresi in altre discipline. In particolare il corso si prefigge i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente sarà introdotto nello studio degli spazi metrici, degli spazi normati e degli spazi di Hilbert. Vedrà come i risultati noti dal corso di Analisi I si inseriscono in un contesto molto più vasto e generale. Saranno sviluppate le capacità di astrazione rigorosa e nel contempo di sintesi critica. Familiarizzerà con il calcolo differenziale per funzioni vettoriali di più variabili, con lo studio di equazioni differenziali dei quali già conosce i metodi risolutivi ma sarà introdotto alle problematiche fondamentali quali i teoremi di esistenza, di unicità delle soluzioni. Amplierà le conoscenze relative alla misurabilità di insiemi nel piano e nello spazio studiando la teoria della misura secondo Peano e secondo Lebesgue. Quindi sarà introdotto al calcolo integrale di funzioni di più variabili e alle svariate applicazioni. Alcuni approfondimenti saranno affidati agli studenti più volenterosi che, da soli o in gruppo, potranno presentarli in brevi seminari.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma riuscirà a collegarli e sarà condotto, in particolare, a riflettere sulle proprietà di struttura (e.g. topologiche) che stanno alla base dei vari argomenti studiati. Sarà abituato a riflettere su una questione e a costruire un modello matematico da studiare analiticamente. Potrà, inoltre, esercitare la propria capacità di utilizzare le proprie conoscenze in situazioni diverse da quelle in cui sono state presentate: ad esempio, sarà invitato a dimostrare autonomamente dei risultati simili a quelli studiati, e a svolgere numerosi esercizi di applicazione dei teoremi studiati. Ciò avverrà attraverso esercitazioni guidate in classe e attraverso esercizi – sia manipolativi che dimostrativi – che gli saranno proposti per lo studio individuale.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà studiare degli argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e sarà stimolato alla ricerca di ulteriori applicazioni degli argomenti svolti . Potrà inoltre confrontarsi criticamente con gli altri studenti durante le ore di tutorato per individuare le soluzioni più corrette.

Abilità comunicative (communication skills): attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura dei libri consigliati, lo studente sarà aiutato a strutturare in modo più articolato il pensiero matematico e a curare meglio il linguaggio matematico al quale è stato già introdotto durante il primo anno del corso. Mediante le esercitazioni guidate e i seminari, apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per acquisire la mentalità matematica.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà guidato ad acquisire un metodo di studio che gli permetta di accostarsi ad un argomento nuovo riconoscendo subito quali sono i prerequisiti necessari. Svilupperà, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.

Analisi Matematica I

fortemente consigliata

Spazi metrici. Spazi normati spazi di Hilbert. (15 ore) Successioni e serie di funzioni. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Teoria della misura secondo Peano e secondo Lebesgue. Calcolo integrale. Integrali curvilinei. Forme differenziali. Sistemi di equazioni differenziali. Superfici ed integrali superficiali.

1) Giovanni Emmanuele Analisi Matematica II Foxwell and Davies 2004

Esame finale Consiste in una parte scritta ed una orale. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi, tecnici e dimostrativi. La prova orale è mirata particolarmente a verificare la chiarezza espositiva e la capacità di collegare fra loro diversi argomenti. Per un teorema, potrà essere chiesto di esporre la dimostrazione dettagliata oppure solo la linea dimostrativa: la prima serve ad appurare il livello di precisione raggiunto, la seconda a valutare se lo studente ha raggiunto un’acquisizione consapevole e non puramente mnemonica delle tecniche dimostrative. Per verificare la capacità di studiare autonomamente, lo studente sarà invitato a riferire, se lo desidera, su un argomento non contenuto nel programma.

Si vedano su studium compiti degli anni precedenti