GEOMETRIA II
Anno accademico 2016/2017 - 2° annoCrediti: 12
SSD: MAT/03 - Geometria
Organizzazione didattica: 300 ore d'impegno totale, 204 di studio individuale, 96 di lezione frontale
Semestre: 2°
Obiettivi formativi
L'obiettivo del corso è di consentire agli studenti di impadronirsi di teorie e tecniche relative all' Algebra Lineare avanzata, alla geometria degli spazi affini e degli spazi proiettivi,
alle ipersuperficie affini e proiettive, ai rudimenti della teoria delle curve e superficie differenziabili (quest' ultimo punto se il tempo lo consentirà).
Gli studenti saranno in grado di applicare queste teorie e queste tecniche sia a problemi astratti che a problemi concreti.
Prerequisiti richiesti
Geometria I.
(Fortemente consigliato ma non obbligatorio: Algebra)
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma:
Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. Endomorfismi autoaggiunti, matrici normali e operatori, teorema spettrale per operatori normali.
Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività.
Generalità algebriche sui polinomi (omogenei). Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente e sua equazioni. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche.
Cenni della teoria delle curve e delle superficie differenziabili (solo se esisterà tempo disponibile).
Testi di riferimento
a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino
b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.
c) C. Ciliberto: Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, Torino
Materiale didattico: Appunti di alcuni argomenti relativi alla teoria delle ipersuperfici algebriche sono disponibili sulla pagina internet del corso: http://www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Geometria II.html
Inoltre nella pagina internet si trovano vari esercizi e compiti, alcuni con svolgimento completo, assegnati negli anni precedenti.
Programmazione del corso
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | 1. Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato | a) e c) |
| 2 | * | 1. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. | a) e c) |
| 3 | * | 1. Endomorfismi autoaggiunti, matrici diagonalizzabili, teorema spettrale. | a) e c) |
| 4 | * | 2. Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a) |
| 5 | * | 2. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. | a) |
| 6 | * | 2. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a) |
| 7 | * | 2. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività | a) |
| 8 | * | 3. Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente, spazio tangente e loro equazioni. | Note di corso |
| 9 | * | 3. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche. | Note di corso |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta ed un colloquio orale.
Gli studenti che svolgono una prova scritta gravemente insufficiente sono invitati a non sostenere la prova orale e a ripetere la prova scritta.
L'esame orale è volto ad accertare la preparazione degli studenti, la loro capacità espositiva ed il grado di elaborazione raggiunto.
La valutazione dello scritto influisce decisamente sul voto finale dell'esame.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Sul sito web del docente esiste una pagina dedicata al corso dove e' possibile visualizzare le prove scritte assegnate negli anni precedenti.
Le domande nel colloquio orale mirano ad accertare l' effettiva comprensione degli enunciati dei teoremi principali e delle loro applicazioni piuttosto che sulla verifica di una nozionistica conoscenza delle dimostrazioni.