TOPOLOGIA GENERALE
Anno accademico 2021/2022 - 2° annoCrediti: 6
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 103 di studio individuale, 35 di lezione frontale, 12 di esercitazione
Semestre: 1°
Obiettivi formativi
Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Il corso fornisce una descrizione completa delle basi della Topologia Generale. Particolare enfasi verrà data alla discussione di esempi ed esercizi.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Familiarita' con la logica matematica elementare.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
La nozione di spazio topologico. Insiemi aperti e chiusi. Basi e sistemi fondamentali di intorni. Costruzione di una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilità. Funzioni continue ed omeoformismi. Sottospazi e proprietà ereditarie. Prodotto di spazi topologici: il caso finito e il caso generale. Spazi quoziente. Spazi metrici e spazi metrizzabili. Assiomi di separazione. Spazi normali e lemma di Urysohn. Il teorema di estensione di Tietze. Spazi compatti e loro proprietà fondamentali. Il teorema di Tychonoff. Il teorema di immersione. Una caratterizzazione fondamentale della completa regolarità. La nozione di compattificazione. Spazi connessi e loro proprietà. La connessione di un prodotto. Spazi loalmente compatti e compattificazione di Aleksandroff.
Testi di riferimento
1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti durante il corso.
2. Per ulteriori approfondimenti il trattato: Topologia di M. Manetti e la monografia General Topology di R. Engelking.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | La nozione di spazio topologico. | 1 |
| 2 | Insiemi aperti e chiusi. Basi e sistemi fondamentali di intorni. | 1 |
| 3 | Costruzione di una topologia. Primo e secondo assioma di numerabilità. | 1 |
| 4 | . Funzioni continue ed omeoformismi. Sottospazi e proprietà ereditarie. | 1 |
| 5 | Prodotto di spazi topologici: il caso finito e il caso generale. Spazi quoziente. Spazi metrici e spazi metrizzabili. | 1 |
| 6 | Assiomi di separazione. Spazi normali e lemma di Urysohn. Il teorema di estensione di Tietze | 1 |
| 7 | Spazi compatti e loro proprietà fondamentali. Il teorema di Tychonoff. Il teorema di immersione | 1 |
| 8 | Una caratterizzazione fondamentale della completa regolarità. La nozione di compattificazione. Spazi connessi e loro proprietà. | 1 |
| 9 | La connessione di un prodotto. Spazi loalmente compatti e compattificazione di Aleksandroff. | 1 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.
La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Basi di una topologia e loro proprietà.
La topologia prodotto. Spazi compatti ed esempi notevoli.