COMPLEX ANALYSIS AND INTEGRAL TRANSFORMS

Lo studente acquisirà la capacità di svolgere integrali definiti non elementarmente calcolabili mediante il teorema dei residui, sviluppare in serie di Fourier funzioni periodiche e trovare la somma di certe serie numeriche, calcolare le trasformate di Fourier e di Laplace di funzioni, risolvere sistemi di equazioni differenziali lineari, equazioni integrali o integro-differenziali mediante le trasformate di Laplace e di Fourier, nonché operare con semplici distribuzioni.

In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): saranno trattati argomenti di base dell’Analisi Complessa e delle serie di Fourier, anche allo scopo di approfondire e unificare alcune nozioni e metodologie apprese nei precedenti corsi di Analisi Matematica. La parte inerente le trasformazioni di Fourier e di Laplace fornirà allo studente le conoscenze teoriche necessarie per applicare questi strumenti a importanti problemi, quali i sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente imparerà a risolvere integrali definiti, generalizzati o impropri, non elementarmente calcolabili, con il metodo dei residui. Saprà comprendere la sviluppabilità e trovare lo sviluppo in serie di Fourier di funzioni periodiche, nonché calcolare la somma di certe serie numeriche, e imparerà ad applicare le trasformate di Fourier e di Laplace a importanti problemi concreti.

Autonomia di giudizio (making judgements): alla fine del corso lo studente sarà in grado di individuare lo strumento matematico più idoneo per calcolare un dato integrale, sviluppare in serie una funzione assegnata e risolvere un sistema di equazioni differenziali ordinarie. Saprà inoltre giudicare quali dei concetti di base dell’Analisi Reale si estendono in modo naturale all’Analisi Complessa.

Abilità comunicative (communication skills): durante le lezioni gli studenti saranno costantemente invitati a intervenire, esprimendo il loro punto di vista, sia su argomenti teorici che sulle applicazioni. Ciò ha lo scopo di sviluppare il loro senso critico e l’intuito, nonché di abituarli a comunicare con un linguaggio matematicamente corretto.

Capacità di apprendimento (learning skills): saranno stimolate e periodicamente verificate con esercitazioni in aula e semplici questioni di teoria da sviluppare individualmente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

La verifica dell’apprendimento prevede una prova scritta e una prova orale. Entrambe potranno essere effettuate anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Aver superato l'esame di Analisi Matematica II.

Fortemente consigliata.

1. Funzioni periodiche, continue a tratti e regolari a tratti. Sviluppi in serie di Fourier. Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier, integrazione termine a termine. Calcolo delle somme di serie numeriche convergenti.

2. Derivazione e integrazione nel campo complesso. Formule di Cauchy, teorema di Liouville, dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra. Teorema di Hermite. Teorema di Laurent sulla sviluppabilità in serie bilatere di potenze. Punti singolari isolati, classificazione e caratterizzazioni. Calcolo dei residui nei poli, teorema dei residui e sue applicazioni.

3. Trasformazione di Fourier. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate delle funzioni rect(x), exp(-ax²) ed exp(-a|x|) con a>0, 1/(1+x²). Derivata e trasformata. Convoluzioni e loro trasformate. Formule di inversione.

4. Trasformazione di Laplace. Definizione e proprietà fondamentali. Trasformate delle funzioni H(t), sin(ωt), cos(ωt), [t]. Trasformate delle funzioni periodiche. Derivata e trasformata, teorema del valore finale. Convoluzioni e loro trasformate. Formula di inversione. Applicazioni ai sistemi di equazioni differenziali lineari e a coefficienti costanti.

5. Cenni sulle distribuzioni. Spazio delle funzioni test. Distribuzioni. Spazio L¹_loc(R). Distribuzioni funzioni. La delta di Dirac. Successioni di distribuzioni. Operazioni. Derivata di una distribuzione. Casi particolari notevoli. Distribuzioni temperate. Trasformazione di Fourier di una distribuzione temperata. Principali proprietà.

1) G. C. BAROZZI, Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli, Bologna, 2003.

2) M. BRAMANTI, Metodi di Analisi Matematica per l'Ingegneria, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2019.

3) G. DI FAZIO - M. FRASCA, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Monduzzi, Bologna, 2003.

Durante il corso verranno effettuate due prove scritte in itinere, una a metà corso e una alla fine. Gli studenti che le superano entrambe sono dispensati dal sostenere la prova scritta completa prevista per ogni appello. Superata la prova scritta, bisogna sostenere un colloquio orale.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Si rinvia a Studium.