ELEMENTS OF ADVANCED GEOMETRY

Addestramento all'uso del linguaggio formale in matematica astratta. Argomento principale è i fondamenti della Topologia Algebrica.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): gli studenti, alla fine del percorso formativo, devono: -comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali nell'ambito della Topologia Algebrica; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento, nella manipolazione e nel calcolo; - risolvere problemi matematici che, pur non essendo comuni, sono di analoga natura ad altri già conosciuti dagli studenti.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding) gli studenti devono essere capaci di: - dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute; - costruire dimostrazioni rigorose; -costruire semplici esempi. Le sopraelencate abilità saranno conseguite attraverso un insegnamento interattivo: lo studente verificherà costantemente le proprie conoscenze, lavorando in modo autonomo o in collaborazione nell'ambito di piccoli gruppi di lavoro, su semplici nuovi problemi, proposti durante le esercitazioni, sia frontali che durante le ore di supporto.

Autonomia di giudizio (making judgements) lo studente deve aver essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; - essere in grado di riconoscere dimostrazioni corrette, e di individuare ragionamenti fallaci; lo studente deve sviluppare in modo autonomo le proprie capacità decisionali e di giudizio.

Abilità comunicative (communication skills) lo studente deve saper comunicare in modo chiaro e privo di ambiguità informazioni, idee, problemi, soluzioni e le loro conclusioni; - sapere presentare, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, i più importanti teoremi della Topologia Algebrica; - essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia. La prova finale inoltre offrirà allo studente un'ulteriore opportunità di approfondimento e di verifica delle capacità di analisi, elaborazione e comunicazione del lavoro svolto.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente deve aver sviluppato le competenze necessarie per intraprendere studi successivi con un alto grado di autonomia; - possedere abilità di apprendimento e un elevato standard di conoscenza e competenza, tale da permettere l'accesso alle lezioni o ai programmi dei corsi di laurea magistrale in Matematica; - avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche. La capacità di apprendimento sarà acquisita durante il corso di studio grazie alla suddivisione delle ore di lavoro complessive, che attribuisce un importante ed adeguato rilievo a quelle dedicate allo studio personale.

Lezioni frontali con slides ed esercitazioni in cui si correggono gli esercizi assegnati.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenze di base della Topologia Generale e familiarità con la logica matematica elementare.

Fortemente consigliata.

Omotopia tra funzioni e cammini. Costruzione del gruppo fondamentale e calcolo di esso in casi notevoli. Alcune applicazioni. Il teorema del punto fisso in dimensione 2. Il teorema della curva di Jordan.

1. Appunti del corso redatti dal docente e distribuiti agli studenti a inizio corso.

2. Per ulteriori approfondimenti: M. Manetti - Topologia, Springer

Prova orale con eventuale richiesta di svolgere un esercizio.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Il gruppo fondamentale della sfera.

Il teorema del punto fisso.