ANALISI MATEMATICA I

Obiettivi formativi

• MODULO 1

  Lo studente acquisirà i principali concetti dell'Analisi Matematica e sarà guidato a collegarli ai concetti appresi in Algebra, in Topologia generale o concetti che apprenderà in Fisica.

  In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi declinati secondo i descrittori di Dublino:

  Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente familiarizzerà con la struttura dei numeri reali e degli insiemi numerici. In particolare apprenderà i concetti di estremo inferiore e di estremo superiore e vedrà le loro proprietà. Apprenderà il concetto di funzione e in particolare di successione e acquisirà le nozioni del calcolo infinitesimale.. Successivamente sarà introdotto allo studio delle serie numeriche. Sarà gradualmente abituato al linguaggio scientifico e al rigore logico. Alcuni approfondimenti saranno affidati agli studenti più volenterosi che, da soli o in gruppo, potranno presentarli in brevi seminari.

  Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma riuscirà a collegarli e sarà condotto, in particolare, a riflettere sulle proprietà di struttura (e.g. topologiche) che stanno alla base dei vari argomenti studiati. Sarà, inoltre, aiutato a sviluppare la capacità di utilizzare le proprie conoscenze in situazioni diverse da quelle in cui sono state presentate: ad esempio, sarà invitato a dimostrare autonomamente dei risultati simili a quelli presentati a lezione e a svolgere numerosi esercizi di applicazione dei teoremi studiati. Ciò avverrà attraverso esercizi – sia manipolativi che dimostrativi – che gli saranno proposti per lo studio individuale.

  Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà studiare degli argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a confrontare il linguaggio usato in diversi libri. Potrà inoltre essere stimolato a costruire dimostrazioni alternative di alcuni teoremi presentati in classe. Apprenderà inoltre a confrontarsi criticamente con gli altri studenti durante le ore di tutorato per individuare le soluzioni corrette e più eleganti dei problemi studiati.

  Abilità comunicative (communication skills): attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura dei libri consigliati, lo studente continuerà a migliorare nell'uso del linguaggio matematico che sarà sempre più idoneo ad esprimere correttamente ed elegantemente concetti matematici sempre più sottili e sofisticati.

  Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà guidato ad acquisire un metodo di studio che gli permetta di accostarsi ad un argomento nuovo riconoscendo subito quali sono i prerequisiti necessari. Svilupperà, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.

• MODULO 2

  Gli studenti devono essere capaci di studiare proprietà qualitative e quantitative di funzioni di una variabile e applicarle a problemi sia teorici che pratici. Sapere disegnare il grafico di una funzione motivandolo in base alle informazioni teoriche acquisite. Sapere risolvere un'equazione differenziale di difficoltà non elevata. Vengono inoltre fornite le necessarie competenze per affrontare in modo efficace il successivo corso di Analisi Matematica II.

  Obiettivi formativi generali dell'insegnamento in termini di risultati di apprendimento attesi.

  1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): l'obiettivo del corso è quello di far acquisire i fondamenti teorici ed alcuni applicazioni riguardanti il Calcolo Differenziale & Integrale per funzioni di una variabile reale.
  2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per studiare semplici modelli.
  3. Autonomia di giudizio (making judgements): Attraverso esempi concreti ed esercizi lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente proprie soluzioni ad alcuni semplici problemi.
  4. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà ulteriori abilità comunicative e di appropriatezza espressiva nell'impiego del linguaggio teorico nell'ambito generale dell'Analisi Matematica.
  5. Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente le necessarie metodologie teoriche e pratiche per poter affrontare e risolvere autonomamente problematiche che dovessero sorgere durante l'attività progettuale.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

• MODULO 1

  Le lezioni si svolgeranno alla lavagna, in modo tradizionale. Per ogni capitolo, il docente svolgerà alla lavagna vari esercizi. Altri esercizi saranno proposti agli studenti, che potranno svolgerli singolarmente o in gruppo. Il corso è affiancato da attività didattiche integrative, svolte dallo stesso docente con la collaborazione di un giovane tutor, durante le quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi, esponendo parti del programma o presentando brevi seminari di approfondimento.

  In collaborazione con i docenti di Algebra e di Geometria, verranno svolti degli incontri periodici durante i quali gli studenti saranno guidati a riflettere sui collegamenti fra le tre discipline, in modo da apprezzare l'unitarietà e la multidisciplinarietà del Sapere matematico.

  Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

• MODULO 2

  Lezioni alla lavagna

   

  Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Prerequisiti richiesti

• MODULO 1

  calcolo algebrico di base

• MODULO 2

  I contenuti del primo modulo.

Frequenza lezioni

• MODULO 1

  fortemente consigliata.

• MODULO 2

  Vivamente consigliata.

Contenuti del corso

• MODULO 1

  I contenuti del corso sono:

  Struttura dell'insieme dei numeri reali

  Insiemi numerici

  Numeri complessi

  Elementi di topologia

  Successioni di numeri reali

  Serie numeriche

  Funzioni reali di una variabile reale e calcolo infinitesimale

  Su studium lo studente troverà successivamente il programma dettagliato. Su studium troverà anche il diario delle lezioni che sarà aggiornato alla fine di ogni lezione.

• MODULO 2

  Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile. Equazioni differenziali ordinarie. Programma dettagliato alla pagina https://www.dmi.unict.it/difazio/

Testi di riferimento

• MODULO 1

  1) G. Emmanuele Analisi Matematica I Pitagora

  2) G. Emmanuele Analisi Matematica II Foxwell and Davies

  3)G. Di Fazio P. Zamboni Analisi Matematica I

  4) C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

  4. J.P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica vol. 1, Liguori

  5. G. De Marco, Analisi uno, Zanichelli

• MODULO 2
  1. G.Di Fazio - P. Zamboni Analisi Matematica Uno - seconda edizione – Monduzzi (2013)
  2. G. Di Fazio - P. Zamboni Esercizi di Analisi Matematica Uno – Edises (2013).
  3. M. Bramanti Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Ed. Esculapio (2011)
  4. G. De Marco Esercizi di calcolo in una variabile Ed.Zanichelli – Decibel (2001)

Programmazione del corso

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

• MODULO 1

  Alla fine del corso relativo al primo modulo ci sarà una prova che varrà come prova in itinere dell'intero corso di Analisi Matematica I. Consisterà in una prova scritta con esercizi tecnici e teorici e in una prova orale. La prova orale mira alla verifica della conoscenza e della padronanza dei contenuti, della chiarezza espositiva, dello spirito critico e del rigore logico. Per un teorema, potrà essere chiesto di esporre la dimostrazione dettagliata oppure solo la linea dimostrativa: la prima serve ad appurare il livello di precisione raggiunto, la seconda a valutare se lo studente ha raggiunto un’acquisizione consapevole e non puramente mnemonica delle tecniche dimostrative. Il superamento di tale prova non comporta l'acquisizione di crediti. Chi supera la suddetta prova, alla fine del corso relativo al secondo modulo, in uno qualsiasi degli appelli ordinari, fino ad ottobre, deve svolgere l'esame relativo al secondo modulo. Superato anche l'esame sul secondo modulo ( vedi modalità modulo 2), lo studente acquisisce i 18 crediti del corso di Analisi Matematica I. Il voto finale terrà conto dell risultato della prova di fine corso del primo modulo ma non verrà fatta necessariamente la media aritmetica dei due voti. Chi non avrà svolto o non avrà superato la suddetta prova in itinere dovrà svolgere l'esame sull' intero programma ( unione del modulo 1 e del modulo 2) negli appelli previsti per il corso di Aanalisi Matematica I. La prova in itinere è valida fino al mese di ottobre 2021. Se entro tale data lo studente non avrà svolto l'esame sul secondo modulo dovrà fare l'esame di Analisi Matematica I completo

  MODALITA' DELL' ESAME COMPLETO DEL CORSO DI ANALISI I

  Chi non ha superato o non ha sostenuto la prova di fine corso del primo modulo, valida come prova in itinere dell'intero corso di Analisi Matematica I, dovrà sostenere una prova scritta e una prova orale che verteranno su tutti i contenuti del primo e del secondo modulo. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi tecnici e teorici. La prova orale mira alla verifica della conoscenza dei contenuti, della chiarezza espositiva e della capacità di collegare fra loro diversi argomenti con spirito critico e con rigore logico. Per un teorema, potrà essere chiesto di esporre la dimostrazione dettagliata oppure solo la linea dimostrativa: la prima serve ad appurare il livello di precisione raggiunto, la seconda a valutare se lo studente ha raggiunto un’acquisizione consapevole e non puramente mnemonica delle tecniche dimostrative. Si valuterà altresì il livello di acquisizione del linguaggio matematico. Per verificare la capacità di studiare autonomamente, lo studente sarà invitato a riferire, se lo desidera, su un argomento non trattato a lezione.

  La verifica dell' apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

• MODULO 2

  Le modalità sono identiche a quelle previste per il primo modulo. Inoltre - a richiesta dello studente - le verifiche relative ai contenuti dei due moduli potranno essere effettuate in tempi diversi ma sempre nel corso del medesimo Anno Accademico.

   

  La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni sanitarie lo dovessero richiedere.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

• MODULO 1

  Per gli esercizi si possono vedere quelli assegnati negli anni precedenti che saranno presenti su studium.

  Ogni domanda orale avrà lo scopo di verificare la conoscenza di un argomento ed anche la capacità di relazionarlo ad altri argomenti del corso. Ad esempio, a proposito del Teorema di Weierstrass, si potrà chiedere la dimostrazione del Teorema, oppure quali sono le ripercussioni sulla tesi del Teorema quando viene meno una delle ipotesi. Si può altresì chiedere un'applicazione o l'uso del Teorema in un'altra parte del programma. E' data molta importanza agli esempi e contro-esempi che corredano la teoria. Lo studente può proporre quelli illustrati a lezione, ma è auspicabile che, alla luce di quelli presentati dal docente, sia in grado di costruirne altri.

• MODULO 2

  Alla pagina https://www.dmi.unict.it/difazio/ si possono trovare alcune prove scritte da cui si può trarre spunto per esercitarsi e per capire cosa attendersi all'esame. Nella stessa pagina verranno pubblicati ulteriori file contenenti esercizi relativi agli argomenti del corso.