SISTEMI DINAMICI

Gli obiettivi formativi del corso di Sistemi Dinamici sono quelli di aiutare lo studenti a modellare semplici problemi della realtà con i metodi matematici della teoria dei sistemi dinamici discreti e continui finito dimensionali. In particolare si studieranno sistemi lineari e non lineari. Si troveranno i punti di equilibrio, si studierà la loro stabilità, instabilità, esistenza di attrattori strani e insiemi frattali.

-Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): gli studenti devono comprendere enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali relativi ai sistemi dinamici; conoscere e comprendere applicazioni di risultati matematici ai problemi delle scienze applicate; dimostrare abilità matematiche nel ragionamento con la semplice costruzione di modelli concreti.

-Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): dimostrare risultati matematici noti con tecniche diverse da quelle conosciute, costruzione di sistemi dinamici particolari a partire da modelli conosciuti; essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, formulati nel linguaggio naturale, e di trarre profitto da questa formulazione per chiarirli o risolverli. Le capacità di applicare conoscenza e comprensione saranno conseguite attraverso una modalità di insegnamento sempre incentrata sul metodo logico-deduttivo e volta alla presentazione e all'analisi dei più importanti modelli matematici delle scienze applicate.

-Autonomia di giudizio (making judgements): gli studenti a conclusione del corso devono essere in grado di proporre, analizzare e confrontare modelli matematici associati a situazioni concrete di moderata difficoltà derivanti da altre discipline, e di usare tali modelli per facilitare lo studio della situazione originale.

- Abilità comunicative (communication skills): sapere presentare materiali e argomentazioni scientifiche, oralmente o per iscritto, in modo chiaro e comprensibile, anche mediante l'ausilio di semplici strumenti multimediali; essere in grado di lavorare in gruppo e di operare con definiti gradi di autonomia.

-Capacità di apprendimento (learning skills): aver sviluppato le competenze necessarie per costruire semplici modelli con autonomia; avere una mentalità flessibile, ed essere in grado di inserirsi prontamente negli ambienti di lavoro, adattandosi facilmente a nuove problematiche.

Lezioni frontali ed esercizi svolti dagli studenti a casa e in classe.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a
distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto
a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenza di Analisi matematica I e II, equazioni differenziali, Fisica Matematica e teoria delle matrici.

Fortemente consigliata.

Introduzione ai sistemi dinamici discreti e continui, finito dimensionali.

Sistemi dinamici lineari e non lineari

Punti di equilibrio e stabilità

Periodicità e caos

Frattali

Programma completo:

1. Introduzione ai sistemi dinamici. Definizioni ed esempi:
conto bancario, oscillatore armonico, pendolo semplice, crescita
economica di uno stato, dinamica di una popolazione, modello di
Malthus, modello logistico, dinamica di due popolazioni biologiche,
modello preda - predatore, metodo di Newton per gli zeri di una
funzione.

2. Sistemi dinamici lineari. Sistemi di dimensione uno:
caso discreto, metodo analitico, analisi grafica. Caso continuo.
Sistemi dinamici in dimensione maggiore di 1. Matrice dei
coefficienti del sistema lineare diagonalizzabile, esponenziale di
una matrice. Stabilità e instabilità lineare. Rappresentazione
geometrica mediante campi vettoriali. Matrice non diagonalizzabile.
Ritratti di fase in dimensione uno e due. Punto sella, nodo, fuoco,
centro, pozzo e sorgente.

3. Sistemi non lineari. Punti fissi: caso discreto e
continuo. Stabilità e instabilità dei punti fissi. Stabilità
globale. Linearizzazione. Punti di equilibrio iperbolici. Enunciati
dei teoremi della varietà stabile e di Hartman-Grobman. Sistemi
differenziali topologicamente equivalenti e topologicamente
coniugati. Esempi. Metodo di Lyapunov. Teorema di Lyapunov
(stabilità, instabilità e stabilità asintotica). Teorema di
Dirichlet-Lagrange. Sistemi gradiente. Insiemi alfa-limite e
omega-limite di una traettoria. Sistemi hamiltoniani. Applicazioni
in dimensione due. Insiemi limiti e attrattori. Orbita limite.
Orbite periodiche, cicli limiti, cicli separatori. Ciclo limite
stabile, semi-stabile, instabile, asintoticamente stabile. Orbite
omocline ed eterocline. Mappa di Poincaré. Enunciato del teorema di
esistenza della mappa di Poincaré e di Poincaré-Bendixon.
Cenni di modelli matematici delle epidemie.

4. Sistemi non lineari, periodicità e caos. Sistemi
strutturalmente stabili e instabili. Sistemi dinamici continui.
Parametro di biforcazione. Diagramma di biforcazione. Biforcazione
sella-nodo, transcritica, a forchetta, di Hopf. Enunciato del
teorema di biforcazione di Hopf. Sistema di Lorenz, attrattore
strano. Caso discreto. Periodicità, stabilità dei punti periodici.
Biforcazione tangente (sella-nodo), a forchetta (di periodo doppio),
transcritica. Esempi. Caos e dinamica simbolica.

5. Frattali. Idea di frattale. Insieme di Cantor dei terzi
medi. Insieme di Cantor. Triangolo di Sierpinski. Fiocco di neve di
Koch. Contrazioni. Teorema di Banach-Caccioppoli. Norma spettrale.
Insiemi compatti e distanza di Hausdorff. Metrica di Hausdorff.
Sistemi di funzioni Iterate (IFS). Applicazioni. Dimensione frattale
(di Kolmogorov), applicazioni.

1. E. Scheinerman, Invitation to Dynamical Systems, testo disponibile online: http://www.ams.jhu.edu/∼ers/invite/book.pdf

2. L. Perko, Differential equations and dynamical systems, 3rd ed. - New York: Springer-Verlag, 2001.

3. M. W. Hirsch, S. Smale, Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, New York: Academic Press, 1974.

4 E. Salinelli, F. Tomarelli, Modelli dinamici discreti, Milano: Springer-Verlag Italia, 2002.

5. S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and caos, Westview, Cambridge, MA, 2000.

6. A. Milani comparetti, Introduzione ai sistemi dinamici, Ed. Plus, Pisa, 2002

7. G. Mulone, Appunti di sistemi dinamici, 2002.

8. S. Wolfram, Software Mathematica (scaricabile gratuitamente dagli studenti di UNICT)

L'esame finale consiste in una prova orale durante la quale il candidato dimostra di aver assimilato gli argomenti trattati nel corso (saranno privilegiati la comprensione, il ragionamento e la capacità di costruire esempi).

Lo studente si prenota. Vengono poste domande precise sulle parti di programma, in genere 5 argomenti. Lo studente sceglie se scrivere o rispondere oralmente. Vengo poste domande orali intese alla comprensione degli argomenti.

La prova potrà, a scelta dello studente, essere suddivisa in più colloqui.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via
telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Lo studente definisca sistemi dinamici fornendo esempi di modelli applicati alla fisica, biologia, ecologia, economia, ecc.

Lo studente definisca i punti di equilibrio di un sistema dinamico e studi la loro stabilità, costruendo esempi particolari. Chiarsca la differenza fra stabilità locale e globale.

Lo studente dia qualche esempio di insieme attraente e di attrattore

Lo studente studi la stabilità non lineare con il metodo di Lyapunov, costrendo esempi e funzioni di Lyapunov

Lo studente parli delle biforcazioni e del caos.

Lo studente fornisca esemi di insiemi frattali e discuta la loro dimensione frattale.