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GEOMETRIA I

Anno accademico 2015/2016 - 1° anno - Curriculum Generale e Curriculum Applicativo
Docente: Elena Maria GUARDO
Crediti: 12
Organizzazione didattica: 300 ore d'impegno totale, 204 di studio individuale, 96 di lezione frontale
Semestre:

Obiettivi formativi

L'obiettivo del corso e' quello di fornire agli studenti delle conoscenze di base di Algebra Lineare e Geometria Analitica. Per tal fine, verranno date alcune nozioni e strumenti quali, ad esempio, proprieta' di matrici, sistemi lineari e di spazi vettoriali utili per diagonalizzare una matrice. Si classificheranno coniche del piano e quadriche dello spazio, usando i loro invarianti ortogonali e polarità. Si svolgeranno esercizi e problemi simili a quelli richiesti per la prova scritta.

Prerequisiti richiesti

I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Per gli studenti con obblighi formativi aggiuntivi sono previsti dei corsi di recupero.


Frequenza lezioni

Propedeuticità: nessuna

Frequenza: fortemente consigliata


Contenuti del corso

ALGEBRA LINEARE (I semestre, parte su cui si svolgerà la prima prova in itinere):

  1. Operazioni su un insieme. Strutture algebriche: gruppi, anelli, corpi, campi. Anello degli interi relativi. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo.
  2. Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Proprietà delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici quadrate. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed antisimmetriche
  3. Spazi vettoriali e loro proprietà . Esempi: Kn, Km,n, K[X]. Sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz (no dim.). Dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann (no dim). Dimensione di una somma diretta.
  4. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà . Teorema di Binet. Primo e secondo teorema di Laplace (no dim). Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di Kronecker (no dim). Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi omogenei. Risoluzione dei sistemi lineari.
  5. Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà . Il nucleo e l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività , isomorfismi. Teorema del Nucleo e dell' Immagine. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili.
  6. Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Indipendenza degli autovettori. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.

 

GEOMETRIA ANALITICA (II semestre, parte su cui si svolgerà la seconda prova in itinere)

  1. I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore. Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti.
  2. Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri. Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo. Il coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo. Rette complanari e rette sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci di piani. Distanze.
  3. Coniche nel piano e matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica. Classificazione delle coniche irriducibili. Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità . Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze. Tangenti. Polarità. Fasci di coniche.
  4. Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e quadriche degeneri. Coni e cilindri. Invarianti ortogonali. Rette tangenti e piano tangente. Polarità. Punti parabolici, iperbolici ed ellittici. Equazioni ridotte. Ellissoidi, iperboloidi e paraboloidi. Sistemi di rette su una quadrica.

Testi di riferimento

1) S. Giuffrida, A.Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Ed. Il Cigno G.Galilei, Roma 1998 (per la parte di Algebra Lineare).

2) G. Paxia, Lezioni di Geometria, Spazio Libri, Catania, 2005 (per la parte di geometria). Il presente libro, su volere dell'autore, è scaricabile dal sito internet del prof. G. Paxia www.giuseppepaxia.com



Programmazione del corso

 *ArgomentiRiferimenti testi
1*Determinante e rango di una matrice. Risoluzioni di sistemi lineari con i teoremi di Cramer e Rouchè-Capelli. Studio di un’applicazione lineare, calcolo di autovalori ed autovettori e degli spazi ad essi associatiTesto 1) 
2 Equazioni di rette nel piano, equazioni di rette e piani nello spazio e loro posizione reciproca, classificazione coniche, classificazione quadricheTesto 2) 
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

esame finale: Nel caso in cui lo studente decida di sostenere l'esame finale o non supera una delle due prove in itinere, gli esami consistono in una prova scritta ed una orale alla fine del corso annuale. Per il superamento della prova scritta, lo studente dovrà svolgere almeno due quesiti di Algebra Lineare ed uno di Geometria (o viceversa). Sono sconsigliati dal presentarsi alla prova orale i candidati che riportano una votazione inferiore a 12/30 nella prova scritta.


Esempi di domande e/o esercizi frequenti

Esercizi assegnati ed esercizi svolti su http://www.dmi.unict.it/~guardo

Domande frequenti esercizi/esami

1) Definizione di spazio vettoriale. Teorema sulle dimensioni di Nucleo ed Immagine di un’applicazione lineare. Teorema di Cramer e Rouchè-Capelli. Criterio di indipendenza lineare. Criterio di indipendenza degli autospazi, molteplicità algebrica e geometrica, endomorfismi semplici. Controimmagine di un vettore.

2) Rette e piani nello spazio. Classificazione coniche. Rette tangenti. Classificazione quadriche. Piani tangenti. Vertici. Coni e cilindri. Sezioni piani di quadriche