FONDAMENTI DI MATEMATICA

L'obiettivo principale del corso è quello fornire agli studenti strumenti concettuali ed operativi che collegano il più possibile quanto studiato nei corsi precedenti. In particolare si intende offrire agli studenti un approccio all'organizzazione logica di una teoria matematica con particolare riguardo alla geometria, all'aritmetica e alla teoria degli insiemi.

In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscere gli aspetti fondazionali della matematica in merito alla teoria degli insiemi, all’aritmetica, alla geometria.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Applicare il metodo assiomatico alla costruzione dei numeri naturali, e delle geometrie

Autonomia di giudizio (making judgements): Esprimere giudizi sulla bontà della soluzione proposta e valutarne l’efficacia. Acquisizione di capacità critiche negli ambiti della matematica.

Abilità comunicative (communication skills): Capacità di comunicare la propria conoscenza matematica.

Capacità di apprendimento (learning skills): Utilizzare le conoscenze acquisite per acquisire nuove conoscenze.

Le lezioni avranno luogo in incontri bisettimanali. Sarà richiesta una parteipazione attiva degli studenti: le lezioni saranno frontali e partecipate.

Nessu pre-requisito è richiesto. Sono consigliate conoscenze di elementi di Algebra.

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.

Organizzazione logica di una teoria matematica: teorie assiomatiche; calcolo proposizionale e algebra di Boole; calcolo predicativo. Fondamenti di geometria: gli “Elementi” di Euclide - libro I e Libro II; i “Grundlagen der Geometrie” di Hilbert; assiomi di continuità e geometria non-archimedea. Fondamenti di aritmetica: Assiomi di Peano e assiomi di Pieri; Successivi ampliamenti del concetto di numero. L’infinito matematico: il problema dell’infinito nella matematica greca; il calcolo infinitesimale; concetto di insieme infinito; teoria degli insiemi di Cantor; cardinalità del numerabile e del continuo; confronto di cardinalità; paradossi della teoria degli insiemi; teoria assiomatica degli insiemi; l’assioma della scelta; segmenti di un insieme ben ordinato; il teorema di Zermelo; proposizioni equivalenti all’assioma della scelta. Le teorie formali: il fenomeno dei paradossi; cenni su logicismo, intuizionismo e formalismo; teorie formali del 1° e del 2° ordine; cenni sul sistema non-standard dei numeri reali; limiti del formalismo.

Attilio Frajese e Lamberto Maccioni (a cura di), Gli Elementi di Euclide, UTET, Torino 1970

D. Hilbert (a cura di) Fondamenti della geometria, Franco Angeli, Milano 2012

Sopra gli assiomi aritmetici, Bollettino dell'Accademia Gioenia Di Scienze Naturali in Catania, 1-2, 1908

M. Kline, Storia del pensiero matematico, Vol.1 e 2. Einaudi, 1999

Durante l'anno vengono forniti agli studenti appunti redatti dal docente contenenti gli argomenti trattati durante le lezioni frontali (su Studium).

l’esame finale consiste in una prova orale

Assiomi di continuità;

Numeri secondo Pieri e secondo Peano

Teorie assiomatiche