ANALISI MATEMATICA I

Obiettivi formativi

• MODULO 1

  L'obiettivo di questo insegnamento è fare sì che lo studente acquisisca i principali concetti dell’Analisi Matematica, possa collegarli a concetti appresi in altre discipline e apprenda le principali tecniche dimostrative dell’Analisi Matematica.

  In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi, declinati secondo i descrittori di Dublino:

  Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente familiarizzerà con l’insieme dei numeri reali e la sua struttura e comprenderà la motivazione di tanti procedimenti che probabilmente, nei suoi studi precedenti, aveva appreso in modo meramente tecnico. Sarà in grado, a questo punto, di comprendere il concetto di limite e di giustificare le principali proprietà dei limiti, per le successioni e per le funzioni di una variabile reale. Imparerà a riconoscere le principali proprietà analitiche di una funzione. Saprà individuare il carattere di una serie numerica. Alcuni approfondimenti saranno affidati agli studenti più volenterosi che, da soli o in gruppo, potranno presentarli in brevi seminari.

  Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma riuscirà a collegarli e sarà condotto, in particolare, a riflettere sulle proprietà di struttura (e.g. topologiche) che stanno alla base dei vari argomenti studiati. Potrà, inoltre, esercitare la propria capacità di utilizzare le proprie conoscenze in situazioni diverse da quelle in cui sono state presentate: ad esempio, sarà invitato a dimostrare autonomamente dei risultati simili a quelli studiati, e a svolgere numerosi esercizi di applicazione dei teoremi studiati. Ciò avverrà attraverso esercitazioni guidate in classe e attraverso esercizi – sia manipolativi che dimostrativi – che gli saranno proposti per lo studio individuale.

  Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà studiare degli argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a confrontare il linguaggio usato in diversi libri. Imparerà a riconoscere alcuni errori comuni durante le esercitazioni guidate. Potrà inoltre confrontarsi criticamente con gli altri studenti durante le ore di tutorato per individuare le soluzioni più corrette.

  Abilità comunicative (communication skills): attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura dei libri consigliati, lo studente familiarizzerà con il linguaggio matematico. Mediante le esercitazioni guidate e i seminari, apprenderà a comunicare in modo chiaro e rigoroso sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per acquisire la mentalità matematica.

  Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà guidato ad acquisire un metodo di studio che gli permetta di accostarsi ad un argomento nuovo riconoscendo subito quali sono i prerequisiti necessari. Svilupperà, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.

• MODULO 2

  Lo studente continuerà ad acquisire i principali concetti dell'Analisi Matematica e sarà guidato a collegarli ai concetti appresi in Algebra, in Topologia generale o concetti che apprenderà in Fisica.

  In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi declinati secondo i descrittori di Dublino:

  Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente familiarizzerà con il calcolo differenziale delle funzioni di una variabile e conoscerà tante sue importanti applicazioni. Apprenderà i metodi di integrazione e la teoria dell'integrazione di Rienmann legata alla teoria della misura secondo Peano. Sarà in grado di passare al concetto di successione di funzioni e serie di funzioni. Apprenderà i metodi risolutivi delle equazioni differenziali che incontrerà nelle altre discipline. La teoria relativa alle equazioni differenziali sarà invece rinviata al secondo anno. Alcuni approfondimenti saranno affidati agli studenti più volenterosi che, da soli o in gruppo, potranno presentarli in brevi seminari.

  Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente non si limiterà ad imparare i singoli concetti ma riuscirà a collegarli e sarà condotto, in particolare, a riflettere sulle proprietà di struttura (e.g. topologiche) che stanno alla base dei vari argomenti studiati. Potrà, inoltre, esercitare la propria capacità di utilizzare le proprie conoscenze in situazioni diverse da quelle in cui sono state presentate: ad esempio, sarà invitato a dimostrare autonomamente dei risultati simili a quelli studiati, e a svolgere numerosi esercizi di applicazione dei teoremi studiati. Ciò avverrà attraverso esercizi – sia manipolativi che dimostrativi – che gli saranno proposti per lo studio individuale.

  Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà studiare degli argomenti non svolti a lezione per abituarsi ad approfondire autonomamente le proprie conoscenze e a confrontare il linguaggio usato in diversi libri. Potrà inoltre essere stimolato a costruire dimostrazioni alternative di alcuni teoremi presentati in classe. Apprendererà inoltre a confrontarsi criticamente con gli altri studenti durante le ore di tutorato per individuare le soluzioni corrette e più eleganti dei problemi studiati.

  Abilità comunicative (communication skills): attraverso l’ascolto delle lezioni e la lettura dei libri consigliati, lo studente continuerà a migliorare nell'uso del linguaggio matematico che sarà sempre più idoneo ad esprimere correttamente ed elegantemente concetti matematici sempre più sottili e sofisticati.

  Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà guidato ad acquisire un metodo di studio che gli permetta di accostarsi ad un argomento nuovo riconoscendo subito quali sono i prerequisiti necessari. Svilupperà, inoltre, le capacità di calcolo e di manipolazione degli oggetti matematici studiati.

Modalità di svolgimento dell'insegnamento

• MODULO 1

  Le lezioni si svolgeranno alla lavagna, in modo tradizionale. Per ogni capitolo, i docenti svolgeranno alla lavagna vari esercizi. Altri esercizi saranno proposti agli studenti, che potranno svolgerli singolarmente o in gruppo. Il corso è affiancato da attività didattiche integrative, svolte dagli stessi docenti con la collaborazione di giovani tutor, in occasione delle quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi, esponendo parti del programma o presentando brevi seminari di approfondimento.

  In collaborazione con i docenti di Algebra e di Geometria, verranno svolti degli incontri periodici durante i quali gli studenti saranno guidati a riflettere sui collegamenti fra le tre discipline, in modo da apprezzare l'unitarietà e la multidisciplinarietà del Sapere matematico.

• MODULO 2

  Le lezioni si svolgeranno alla lavagna, in modo tradizionale. Per ogni capitolo, i docenti svolgeranno alla lavagna vari esercizi. Altri esercizi saranno proposti agli studenti, che potranno svolgerli singolarmente o in gruppo. Il corso è affiancato da attività didattiche integrative, svolte dagli stessi docenti con la collaborazione di giovani tutor, in occasione delle quali gli studenti potranno mettersi alla prova svolgendo esercizi, esponendo parti del programma o presentando brevi seminari di approfondimento.

  In collaborazione con i docenti di Algebra e di Geometria, verranno svolti degli incontri periodici durante i quali gli studenti saranno guidati a riflettere sui collegamenti fra le tre discipline, in modo da apprezzare l'unitarietà e la multidisciplinarietà del Sapere matematico.

Prerequisiti richiesti

• MODULO 1

  Nessuna propedeuticità. I prerequisiti sono quelli richiesti per l’accesso al Corso di laurea. Coloro che non hanno una buona conoscenza di tali prerequisiti (in particolare, operazioni fra insiemi, risoluzione di disequazioni, uso delle proprietà del valore assoluto, elementi di trigonometria) unitamente ad una buona attitudine al ragionamento logico, potranno avere serie difficoltà a seguire il corso.

• MODULO 2

  I contenuti del modulo I.

Frequenza lezioni

• MODULO 1

  La frequenza delle lezioni e delle attività integrative è fortemente consigliata. I docenti saranno a disposizione per chiarimenti durante le ore di ricevimento, ed è bene che gli studenti si abituino ad utilizzare quest'opportunità.

• MODULO 2

  fortemente consigliata.

Contenuti del corso

• MODULO 1

  Il programma dettagliato sarà pubblicato alla fine del corso. Sul portale Studium sarà possibile seguire quotidianamente il diario delle lezioni. Gli argomenti trattati sono:

  1. Numeri reali e complessi, struttura dell’insieme dei numeri reali, generalità sulle funzioni, funzioni elementari (circa 30 ore)

  2. Successioni e loro limiti, serie numeriche (circa 25 ore)

  3. Limiti e continuità per una funzione reale di una variabile reale (circa 20 ore)

  Si fa presente che tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti basterà seguire il diario delle lezioni (pubblicato quotidianamente su Studium). Si ricorda comunque che la frequenza delle lezioni e la partecipazione attiva ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.

• MODULO 2

  I contenuti del corso sono:

  Calcolo differenziale per funzioni di una sola variabile

  Calcolo integrale: integrale di Rienmann. Integrale indefinito.

  Integrali impropri.

  Successioni di funzioni

  Serie di funzioni.

  Metodi risolutivi delle equazioni differenziali.

  Su studium lo studente troverà successivamente il programma dettagliato. Su studium troverà anche il diario delle lezioni che sarà aggiornato alla fine di ogni lezione.

Testi di riferimento

• MODULO 1

  1. G. Emmanuele, Analisi Matematica 1, Pitagora (nuova edizione)

  2. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

  3. J.P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica vol. 1, Liguori

  4. G. De Marco, Analisi uno, Zanichelli

   

  N.B. Si farà principalmente riferimento al libro indicato con il n. 1 ma gli studenti potranno consultare gli altri per confronti e approfondimenti.

  Per gli esercizi:

  5. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, vol. 1, Liguori

• MODULO 2

  1) G. Emmanuele Analisi Matematica I Pitagora

  2) G. Emmanuele Analisi Matematica II Foxwell and Davies

  Lo studente puo' consultare anche i seguenti testi

  3. C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli

  4. J.P. Cecconi, G. Stampacchia, Analisi Matematica vol. 1, Liguori

  5. G. De Marco, Analisi uno, Zanichelli

Programmazione del corso

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

• MODULO 1

  Durante il periodo di sospensione delle lezioni (prima metà di febbraio 2019) si svolgerà la prova di fine corso (nel seguito, F.C.), che fungerà da prova in itinere per l'intero corso di Analisi Matematica 1. Coloro che la supereranno, potranno svolgere l'esame finale, entro la sessione di ottobre 2019, solo sul secondo modulo. Il voto finale terrà conto del risultato della F.C. anche se non sarà fatta necessariamente la media dei due voti. Chi non ha superato, o non ha sostenuto, la F.C., svolgerà l'esame finale simultaneamente su entrambi i moduli.

  La struttura di tutte le prove (sia F.C. che esame finale) è la seguente. Prima di tutto lo studente è invitato a svolgere una prova scritta, che comprende due sezioni: parte A (tre esercizi tecnici, il candidato dovrà svolgerne due) e parte B (due esercizi dimostrativi, il candidato dovrà svolgerne uno), in ciascuna sezione possono esserci dei quesiti a risposta multipla. La prova scritta si intende superata se entrambe le parti A e B sono svolte in modo sufficiente. Coloro che superano la prova scritta potranno accedere alla prova orale, nello stesso appello o in un appello successivo. La prova orale è mirata particolarmente a verificare la chiarezza espositiva e la capacità di collegare fra loro diversi argomenti. Per un teorema, potrà essere chiesto di esporre la dimostrazione dettagliata oppure solo la linea dimostrativa: la prima serve ad appurare il livello di precisione raggiunto, la seconda a valutare se lo studente ha raggiunto un’acquisizione consapevole e non puramente mnemonica delle tecniche dimostrative. Per verificare la capacità di studiare autonomamente, lo studente sarà invitato a riferire, se lo desidera, su un argomento non trattato a lezione.

• MODULO 2

  A metà del corso sarà prevista una prova in itinere solo scritta sulla parte svolta fino a quel momento. Potranno accedere ad essa solo coloro che hanno superato la prova finale del primo modulo. Per tale prova non è previsto un voto ma solo il giudizio " superato" o "non superato". Coloro che la supereranno dovranno svolgere l'esame finale entro il mese di ottobre. In tale esame finale svolgeranno solo esercizi relativi all'ultima parte del corso, mentre la prova orale verterà su tutti gli argomenti del secondo modulo con la modalità indicata sotto.

  MODALITA' DELL' ESAME COMPLETO SUL II MODULO E DELL'ESAME FINALE DEL CORSO DI ANALISI I

  Chi non ha superato o non ha sostenuto la prova di fine corso del primo modulo, valida come prova in itinere dell'intero corso di Analisi Matematica I, dovrà sostenere una prova scritta e una prova orale che verteranno su tutti i contenuti del primo e del secondo modulo. La prova scritta prevede la risoluzione di alcuni esercizi tecnici e teorici. Precisamente saranno proposte due sezioni di esercizi. Nella sezione A lo studente troverà tre esercizi tecnici e ne dovrà risolvere due, nella sezione B troverà due esercizi teorici e ne dovrà risolvere uno. La prova orale mira alla verifica della conoscenza dei contenuti, della chiarezza espositiva e della capacità di collegare fra loro diversi argomenti con spirito critico e con rigore logico. Per un teorema, potrà essere chiesto di esporre la dimostrazione dettagliata oppure solo la linea dimostrativa: la prima serve ad appurare il livello di precisione raggiunto, la seconda a valutare se lo studente ha raggiunto un’acquisizione consapevole e non puramente mnemonica delle tecniche dimostrative. Per verificare la capacità di studiare autonomamente, lo studente sarà invitato a riferire, se lo desidera, su un argomento non trattato a lezione.

  Chi ha superato la prova di fine corso del primo modulo dovrà sostenere la prova relativa al secondo modulo entro il mese di ottobre con le stesse modalità dell'esame finale. Il voto finale terrà conto dell risultato dellla prova di fine corso del primo modulo ma non verrà fatta necessariamente la media aritmetica dei due voti.

Esempi di domande e/o esercizi frequenti

• MODULO 1

  Si possono trovare i compiti degli anni precedenti sul portale Studium, alla voce "Documenti".

  Esempi per la prova orale:

  - Definizione e proprietà dell'estremo superiore. Esempi di insiemi: non limitato, limitato ma non dotato di massimo, ecc.

  - Teorema di Weierstrass. Esempio di funzione che verifica tutte le ipotesi del teorema tranne una e non verifica la tesi.

  - Serie numeriche: legame fra convergenza semplice e assoluta.

  - Connessi in R e proprietà delle funzioni continue in un connesso.

• MODULO 2

  Per gli esercizi si possono vedere quelli assegnati negli anni precedenti che saranno presenti su studium.

  Ogni domanda orale avrà lo scopo di verificare la conoscenza di un argomento ed anche la capacità di relazionarlo ad altri argomenti del corso. Ad esempio, a proposito del Teorema di Lagrange, si potrà chiedere la dimostrazione del Teorema, oppure quali sono le ripercussioni sulla tesi del Teorema quando viene meno una delle ipotesi. Si può altresì chiedere un'applicazione o l'uso del Teorema in un'altra parte del programma ad esempio quale ruolo ha il teorema, o una sua applicazione, nella teoria della integrazione indefinita. E' data molta importanza agli esempi e contro-esempi che corredano la teoria. Lo studente può proporre quelli illustrati a lezione, ma è auspicabile che, alla luce di quelli presentati dal docente, sia in grado di costruirne altri.