ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA 1 M - Z
Anno accademico 2017/2018 - 1° annoCrediti: 6
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 102 di studio individuale, 24 di lezione frontale, 24 di esercitazione
Semestre: 2°
Obiettivi formativi
Il corso si propone i seguenti obiettivi:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente apprenderà alcuni basilari concetti matematici e svilupperà le capacità di calcolo e manipolazione dei più comuni oggetti dell'Analisi Matematica: fra questi, le successioni e le serie numeriche, i limiti e le derivate per le funzioni di una variabile.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): attraverso esempi legati alle scienze applicate, lo studente potrà apprezzare l’importanza dell'Analisi Matematica in ambito scientifico e non solo come disciplina fine a se stessa, ampliando in tal modo i propri orizzonti culturali.
Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente potrà affrontare con sufficiente rigore alcuni semplici ma significativi metodi dimostrativi dell'Analisi Matematica per affinare le capacità logiche. Molte dimostrazioni saranno presentate in modo schematico e intuitivo per coinvolgere gli studenti e stimolarli a raggiungere da soli l'obiettivo.
Abilità comunicative (communication skills): studiando l'Analisi Matematica, e mettendosi alla prova mediante le esercitazioni guidate e i seminari, lo studente apprenderà a comunicare con rigore e chiarezza sia oralmente che per iscritto. Imparerà che utilizzare un linguaggio corretto è uno dei mezzi più importanti per comunicare con chiarezza il linguaggio scientifico, non solo in ambito matematico.
Capacità di apprendimento (learning skills): gli studenti, soprattutto i più volenterosi, saranno stimolati ad approfondire alcuni argomenti, anche mediante lavori di gruppo.
Prerequisiti richiesti
I prerequisiti sono quelli richiesti per l'iscrizione al Corso di laurea.
Frequenza lezioni
La frequenza è obbligatoria.
Contenuti del corso
Il programma dettagliato sarà pubblicato alla fine del corso. Sul portale Studium sarà possibile seguire quotidianamente il diario delle lezioni. Gli argomenti trattati sono:
- l'insieme dei numeri reali e la sua struttura
- generalità sulle funzioni reali di una variabile reale
- successioni e serie numeriche
- limiti di funzioni reali di una variabile reale
- calcolo differenziale per le funzioni reali di una variabile reale, e sue applicazioni
- cenni sui numeri complessi (*)
(*) se la trattazione degli altri argomenti richiederà più tempo del previsto, quest'argomento non sarà svolto.
Si fa presente che tutti gli argomenti trattati sono indispensabili per acquisire una buona conoscenza della materia e tutti saranno oggetto delle prove d’esame. Per alcuni teoremi non verrà richiesta la dimostrazione. Per conoscere il grado di approfondimento con cui saranno presentati i singoli argomenti basterà seguire il diario delle lezioni (pubblicato quotidianamente su Studium). Si ricorda comunque che la frequenza delle lezioni e la partecipazione attiva ad esse e alle attività integrative agevoleranno l’apprendimento.
Testi di riferimento
1. P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica, vol. I ed. Liguori
per gli esercizi:
1. C. Bramanti, Esercizi di Analisi Matematica 1, Esculapio
2. P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, vol. 1, parti I e II ed. Liguori
Programmazione del corso
* | Argomenti | Riferimenti testi | |
---|---|---|---|
1 | * | Numeri reali: definizione, operazioni e ordine (prima settimana) | 1, cap. 1 |
2 | * | Struttura dell'insieme dei numeri reali: estremi inferiore e superiore, elementi di topologia (seconda settimana) | appunti su Studium |
3 | * | Generalità sulle funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari (terza e quarta settimana) | 1, cap. 1 |
4 | * | Successioni: regolarità, teoremi di confronto, operazioni coi limiti, successioni monotone (quinta e sesta settimana) | 1, cap. 3 |
5 | * | Limiti notevoli (quinta settimana) | 1, cap. 3 |
6 | Successioni estratte (sesta settimana) | 1, cap. 3 | |
7 | * | Serie numeriche: carattere di una serie, serie a termini di segno costante, convergenza assoluta (settima settimana) | 1, cap. 11 |
8 | Serie a termini di segno alterno. Proprietà commutativa delle serie (settima settimana) | 1, cap. 11 | |
9 | * | Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Teorema ponte e sue applicazioni. Funzioni continue e loro proprietà. (ottava e nona settimana) | 1, cap. 4 |
10 | * | Derivate. Formule e regole di derivazione. Teoremi sul calcolo differenziale e loro applicazioni allo studio delle funzioni. (decima e undicesima settimana) | 1, cap. 5 e 6 |
11 | N.B. Le indicazioni dei tempi sono puramente approssimative. Diverse lezioni saranno dedicate alla revisione di alcuni capitoli. | ||
12 | Cenni sui numeri complessi (poche ore alla fine del corso) | appunti su Studium |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta ed in un colloquio orale. La prova scritta è composta da due parti:
A) quesiti teorici, anche a risposta multipla
B) esercizi tecnici
Per superare la prova il candidato dovrà avere riportato una votazione
maggiore o uguale a 18/30 in ciascuna delle parti A e B. Coloro che
volessero migliorare il voto potranno chiedere di sostenere un
colloquio orale, che potrà essere svolto entro la sessione in cui è stata
svolta la prova scritta, finalizzato soprattutto a valutare la padronanza
degli argomenti e le capacità espositive. La commissione potrà riservarsi
di convocare per un colloquio orale anche gli studenti che nella prova
scritta abbiano riportato un risultato di poco inferiore alla sufficienza.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
ESEMPIO DI PROVA SCRITTA:
Parte A (Teoria)
T1 Rispondere ad almeno una delle seguenti domande.
i) Dare la definizione di massimo e minimo assoluto ed enunciare il teorema di Weierstrass.
ii) Se una funzione f è dotata di massimo assoluto, quale delle seguenti affermazioni è sempre vera?
- f è costante
- f è limitata superiormente
- f è continua
- f è derivabile
- f ha anche il minimo assoluto
T2 Enunciare e dimostrare almeno uno dei seguenti teoremi.
i) Teorema di Fermat.
ii) Sia f : (a; b) --> R una funzione derivabile e tale che f'(x) > 0 per ogni x in (a; b). Dimostrare che f è crescente nell'intervallo (a; b).
T3 Rispondere ad almeno una delle seguenti domande.
i) Sia f : (a; b) --> R. Si dice che f è crescente nell'intervallo (a; b) se ...(completare). Si dice che f è invertibile in (a; b) se ... (completare).
Stabilire quale relazione c'è fra crescenza e invertibilità di una funzione in un intervallo, giustificando la risposta con la dimostrazione o mediante un controesempio.
ii) Dire quando una serie numerica è assolutamente convergente e quale relazione c'è fra convergenza semplice e assoluta, giustificando la risposta con la dimostrazione o mediante un controesempio.
Parte B (Esercizi): essa è costituita da due coppie di esercizi tecnici (eventualmente a risposta multipla) aventi livelli diversi; lo studente dovrà svolgere un esercizio per ciascuna delle due coppie. Un esempio sarà pubblicato su Studium.
L'eventuale PROVA ORALE comprenderà domande aventi comunque sempre il tenore di quelle sopra descritte (cfr. parte A dell'esempio di prova scritta).