GEOMETRIA II
Anno accademico 2024/2025 - Docente: Francesco RUSSORisultati di apprendimento attesi
Obiettivi Formativi:
Obiettivo dell'insegnamento è completare le conoscenze di algebra lineare del corso di Geometria 1 presentando alcuni concetti fondamentali di questa teoria, nonché fornire una trattazione pressoché completa della geometria degli spazi affini e euclidei da un lato e quella degli spazi proiettivi dall' altro nello spirito del Programma di Erlangen elaborato da F. Klein (studio delle classi di equivalenza tramite un determinato gruppo di trasformazioni che agisce sullo spazio ambiente). Gli strumenti introdotti sono anche utilizzati per studiare la geometria delle ipersuperfici algebriche nei vari ambienti con particolare enfasi relativamente al caso degli enti quadratici in dimensione arbitraria e alle proprietà locali e globali delle curve algebriche piane.
Risultati Apprendimento Attesi:
Al ternine dell'insegnamento lo studente dovrà dimostrare di conoscere gli strumenti di algebra lineare avanzata e di geometria introdotti nel corso. Dovrà inoltre saper adeguatamente inquadrare e trattare i problemi di algebra lineare e di geometria nei vari ambiti considerati, sia da un punto di vista teorico (sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di definizioni, teoremi e delle idee principali delle relative dimostrazioni) e sia da un punto di vista pratico (risoluzione di esercizi nelle prove scritte).
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
L' insegnamento consiste di lezioni frontali teoriche tenute dal docente, di esercitazioni pratiche e dello studio dettagliato di esempi, questi ultimi approfonditi dal docente oppure da docenti tutor in complemento al corso.
Le esercitazioni pratiche prevedono una partecipazione cooperativa da parte degli studenti tramite lo svolgimento di semplici calcoli e deduzioni immediate per verificare il grado di comprensione degli argomenti trattati e quanto stiano effetivamente studiando gli argomenti teorici appresi. Queste attività pratiche assicurano di pari grado l' assimilazione dei contenuti del corso e la capacità di risolvere problemi concreti anche in vista del superamento della prova scritta e della prova orale.
Prerequisiti richiesti
Lo studente dovrebbe almeno conoscere i contenuti del corso di Geometria 1 ed è fortemente consigliato aver appreso i concetti di base del corso di Algebra (gruppo, anello, campo).
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
Struttura del corso:
12 CFU - 94 ore totali
70 di lezione frontale
24 di esercitazione
Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso e sul Team del corso creato all' inizio dell' anno accademico. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma:
Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. Endomorfismi autoaggiunti, matrici normali e operatori normali, teorema spettrale per operatori normali.
Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. Dimensione e codimensione di sottospazi. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività.
Generalità algebriche sui polinomi (omogenei). Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni tra le due teorie. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente e sua equazioni. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche.
Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Testi di riferimento
a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino
b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.
Materiale didattico: Appunti di tutti gli argomenti del corso sono disponibili al seguente link:
https://drive.google.com/file/d/1pCkZRyqSCyawPybrHTLgh3gN8IQD4hca/view
Inoltre nel Team del corso si trovano file PDF con vari esercizi e con prove scritte assegnate, un buon numero delle quali con svolgimento completo.
Programmazione del corso
| Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|
| 1 | 1. Forme bilineari, prodotto scalare generalizzato | a), note di corso |
| 2 | 1. Prodotto scalare reale e complesso, ortogonalità, applicazioni che conservano il prodotto scalare. | a), note di corso |
| 3 | 1. Endomorfismi autoaggiunti, matrici diagonalizzabili, teorema spettrale. | a), note di corso |
| 4 | 2. Spazi affini, sottospazi lineari, loro giacitura. Parallelismo. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a), note di corso |
| 5 | 2. Isomorfismo di spazi affini, affinità, isometrie. | a), note di corso |
| 6 | 2. Spazi proiettivi, sottospazi lineari. Intersezione e congiungente di sottospazi. | a), note di corso |
| 7 | 2. Isomorfismo di spazi proiettivi, proiettività. Punti uniti in una proiettività | a), note di corso |
| 8 | 3. Ipersuperficie affini e proiettive, connessioni. Intersezione con una retta, punti semplici e punti multipli. Rette tangenti in un punto, cono tangente, spazio tangente e loro equazioni. | Note di corso |
| 9 | 3. Teorema di Bezout e applicazioni. Flessi e curva hessiana. Polarità e suo significato geometrico. Struttura di gruppo sui punti di una cubica piana, applicazioni geometriche. | Note di corso |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta della durata di tre ore e di un colloquio orale di durata variabile (anche in funzione dell' esito della prova scritta).
La preparazione rigorosa alla prova scritta consentirà allo studente di applicare in esempi concreti gli strumenti teorici appresi.
L' esame orale necessiterà di una esposizione chiara e precisa dei contenuti teorici sviluppati durante il corso, verificando la maturazione dell'apprendimento da parte degli studenti, la loro capacità espositiva ed il grado di elaborazione dei contenuti raggiunto.
Gli studenti che svolgono una prova scritta con voto inferiore a 12/30 non sono ammessi a sostenere la prova orale e dovranno ripetere la prova scritta.
La prima prova in itinere si terrà durante la pausa tra i semestri. Consiste di una prova scritta di tre ore e di una prova orale sui contenuti del corso relativi al primo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.
La seconda prova in itinere si terrà a fine corso, di norma in concomitanza con il primo appello utile di giugno. Consiste di una prova scritta di tre ore e di una prova orale, che verterà sui contenuti del corso relativamente al secondo semestre e può quindi considerarsi equivalente a 6CFU.
La verifica dell' apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. In tal caso la durata della prova scritta potrebbe essere soggetta a variazioni.
Di norma i voti verranno assegnati secondo il seguente schema:
- non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.
- 18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi
- 24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori
- 28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.
Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA
A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.
E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del Dipartimento o al Presidente del Corso di Studi.