COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

L'obiettivo principale del corso è quello di mostrare come i contenuti di Analisi matematica I e II appresi dallo studente in ambito euclideo possano essere estesi al generale contesto degli spazi di Banach, mettendo in luce, in particolare, alcune significative applicazioni di tali estensioni.

Nel dettaglio, declinati secondo i descrittori di Dublino, gli obiettivi sono i seguenti:

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): lo studente imparerà ad utilizzare nel contesto degli spazi di Banach i metodi appresi nei corsi di Analisi matemnatica I e II.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente sarà guidato nella capacità di individuare da sè applicazioni dei risultati generali man mano stabiliti.

Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente verrà stimolato a studiare da sè alcuni risultati non sviluppati durante le lezioni.

Abilità comunicative (communication skills): lo studente imparerà ad esporre in maniera chiara, rigorosa e concisa.

Capacità di apprendimento (learning skills): lo studente sarà in grado di affrontare esercizi e trovare da sè dimostrazioni di risultati semplici.

L'insegnamento si svolgerà attraverso lezioni frontali. Nel caso fosse necessario, si userà la via telematica. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza, potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus. Gli studenti con disabilità e/o DSA dovranno contattare con sufficiente anticipo rispetto alla data dell'esame il docente, il referente CInAP del DMI e il CInAP per comunicare che intendono sostenere l'esame fruendo delle opportune misure compensative (che saranno indicate dal CInAP).

Per potere seguire consapevolmente il corso è necessario conoscere i contenuti dei classici corsi di Analisi matematica I e II. Per potere sostenere l'esame è obbligatorio aver già superato l'esame di Analisi Matematica II (cfr. Regolamento del Corso di Studi)

La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata (cfr. Regolamento del Corso di Studi)

Calcolo differenziale negli spazi di Banach. Nozioni di base sugli spazi di Banach. Operatori lineari e continui tra spazi di Banach. Operatori differenziabili. Teorema di Lagrange e sue applicazioni. Diffeomorfismi di classe C^1. Teorema d'inversione locale. Teorema sulle funzioni implicite. Derivate d'ordine superiore. Formula di Taylor. Estremi locali di funzioni reali definite in uno spazio di Banach. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti del primo e del secondo ordine.

Calcolo integrale per funzioni a valori in spazi di Banach.  Funzioni integrabili secondo Riemann. Integrale di Riemann. Funzioni fortemente misurabili. Funzioni integrabili secondo Bochner. Teorema di Lusin. Integrale di Bochner. Teorema della media. Successioni di funzioni integrabili secondo Bochner. Teorema della convergenza dominata.

Equazioni differenziali ordinarie in spazi di Banach. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano. Teorema di non esistenza di Godunov. Teorema di esistenza ed unicità. Equazioni differenziali lineari. Applicazioni ai sistemi di infinite equazioni differenziali ordinarie.  Applicazioni ad alcune classi di equazioni differenziali a derivate parziali.

1. H. Cartan, Differential calculus on normed spaces: a course in Analysis, 2017.

2.  E. Hille - R. S. Phillips, Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, 1957.

Il docente fornirà inoltre alcuni appunti che saranno pubblicati sulla pagina Studium del corso.

L'esame consiste in una prova orale della durata di circa un'ora nella quale allo studente sarà richiesto di esporre alcune definizioni e alcuni teoremi (enunciato e dimostrazione). 

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Nella valutazione si tiene conto non solo della conoscenza degli argomenti ma anche della capacità di collegarli criticamente  e di esporli compiutamente.

 Per l'attribuzione del voto si seguiranno di norma i seguenti criteri:

non approvato: lo studente non ha acquisito i concetti di base e non è in grado di svolgere gli esercizi.

18-23: lo studente dimostra una padronanza minima dei concetti di base, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono modeste, riesce a risolvere semplici esercizi.

24-27: lo studente dimostra una buona padronanza dei contenuti del corso, le sue capacità di esposizione e di collegamento dei contenuti sono buone, risolve gli esercizi con pochi errori.

28-30 e lode: lo studente ha acquisito tutti i contenuti del corso ed è in grado di esporli compiutamente e di collegarli con spirito critico; risolve gli esercizi in modo completo e senza errori.

Operatori differenziabili

Funzioni integrabili secondo Bochner

Sistemi di infinite equazioni differenziali ordinarie