PROBABILITA' E STATISTICA

Lo studente acquisirà : Il programma del corso si basa sui principali concetti di base del calcolo delle probabilità e della statistica. Essendo un corso di tipo introduttivo, ha come obiettivo l'acquisizione delle tecniche di base per l'interpretazione in senso probabilistico dei fenomeni di tipo casuale. Vengono esposti i fondamenti concettuali essenziali della materia ed il corso si propone i seguenti obiettivi:

Conoscenza e capacità di comprensione:
Tra gli obiettivi fondamentali del corso vi e' la comprensione degli enunciati e delle dimostrazioni dei teoremi fondamentali del calcolo delle probabilità e della statistica. L'obiettivo e' quello teorico di poter costruire dimostrazioni rigorose al fine di migliorare le abilità matematiche nel ragionamento e nel calcolo nonche' l'acquisizione della capacita' di modellizzare i fenomeni naturali e non, ovvero di tradurre in termini matematici problemi comuni al fine di trattarli agevolmente e poterli risolvere.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

La comprensione dei concetti fondamentali del corso ha l'obiettivo pratico di affinare l'uso di strumenti logici e le capacita' critiche permettendo allo studente di saper affrontare argomenti affini al corso ma non svolti in esso.

Autonomia di giudizio:

Nel corso vengono proposti argomenti comparandoli con concetti simili in altre materie. E' interesse del corso quello di rendere autonomi gli studenti, nel senso di migliorare la loro qualita' di giudizio sapendo valutare il modo migliore nell'affrontare dei problemi e sapendone valutare la correttezza.

Abilità comunicative:

La natura logica ed applicativa del corso richiede ed ha per obiettivo la chiarezza e la mancanza di ambiguita' nel comunicare.

Capacità di apprendimento:

Gli obiettivi precedenti convergono nel rendere gli studenti preparati ad affrontare gli studi successivi con conoscenza ed una mentalita' flessibile che sara' anche utile all'inserimento del mondo del lavoro.

Il corso si basa su un ciclo di lezioni frontali. Il docente concorderà con gli studenti delle esercitazioni, in modo che siano preparati alle richieste ed alle difficoltà della prova scritta.

E' fondamentale la conoscenza dei concetti e delle tecniche che riguardano i corsi di Analisi Matematica. In particolare, e' indispensabile la conoscenza degli integrali semplici, multipli e delle serie, per cui il corso di Analisi 1 e' propedeutico.

Fortemente consigliata.

1. Eventi ed operazioni logiche tra eventi.

2. Impostazione assiomatica della probabilità, definizione classica della probabilità, impostazione frequentista, impostazione soggettiva, criterio della scommessa, proprieta' della probabilita'.

3. Numeri aleatori semplici, previsione di un numero aleatorio semplice. Varianza di un numero aleatorio semplice, covarianza. Varianza di somme e differenze di numeri aleatori, coefficiente di correlazione, proprietà, dipendenza lineare.

4. Eventi condizionati e probabilità condizionate, teorema delle' probabilita' composte.

5. Indipendenza stocastica. Eventi scambiabili. Scambiabilita' e impostazione frequentista. Estrazioni con e senza restituzione da un’urna di composizione nota, distribuzione binomiale e ipergeometrica, proprietà, previsione e varianza. Estrazioni da urne di composizione incognita, misture di distribuzioni binomiali e ipergeometriche. Teorema di Bayes, significato inferenziale, valori di verosimiglianza.

6. Numeri aleatori discreti, previsione e funzione di ripartizione di numeri aleatori discreti. Principali distribuzioni di numeri aleatori discreti.

7. Numeri aleatori assolutamente continui, densita' di probabilita' e funzione di ripartizione. Probabilita' nulle, previsione e varianza di numeri aleatori continui. Principali distribuzioni di numeri aleatori assolutamente continui.

8. Vettori aleatori discreti, distribuzioni marginali e condizionate, relazione tra la distribuzione congiunta e le marginali, indipendenza stocastica, relazione con la proprietà di incorrelazione. Distribuzione multinomiale.

9. Vettori aleatori continui, funzione di ripartizione e densità di probabilità congiunta, distribuzioni marginali e condizionate, indipendenza stocastica e incorrelazione, distribuzione di probabilità del massimo e del minimo di due numeri aleatori, applicazione al caso di distribuzioni esponenziali. Somme di numeri aleatori indipendenti e non, integrale di convoluzione.

10. Distribuzioni condizionate. Funzione generatrice. Funzione caratteristica.

11. Convergenza in probabilita'. Convergenza in legge. Teorema del limite centrale.

12. Processi stocastici. Processo di Bernoulli. Problema della rovina del giocatore.

Incertezza e Probabilita' - Scozzafava Romano - Zanichelli

1. Il metodo di valutazione consiste in una prova scritta ed una orale. La prova scritta è utile per capire se si è raggiunta quella capacita' (richiesta negli obiettivi del corso) nel modellizzare i fenomeni in modo rigoroso. Il voto minimo dello scritto per avere accesso all'orale è 15/30. Il voto dello scritto influenza fortemente il voto finale. La prova orale e' utile per comprendere la qualita' della conoscenza teorica della materia e per valutare l'abilita' nel saper costruire una dimostrazione rigorosa.

Compiti ed esercizi svolti su Studium