ELEMENTS OF ADVANCED GEOMETRY

L'obiettivo del corso è di consentire agli studenti di impadronirsi di teorie e tecniche relative alla Geometria Differenziale delle curve e delle superfici, alla geometria delle superfici topologiche compatte e connesse e delle superfici di Riemann compatte e connesse, da un punto di vista locale e globale.

Gli studenti impareranno ad applicare queste teorie e queste tecniche alla risoluzione di  problemi astratti e di  problemi concreti, che verranno assegnati attraverso liste di esercizi discusse insieme al docente tramite la presentazione alla lavagna della soluzione da parte dei partecipanti.

Al termine del corso   gli studenti saranno in grado di comprendere  enunciati e dimostrazioni di teoremi fondamentali della Geometria Differenziale concernenti la curvatura gaussiana di una superficie e il Teorema Egregium di Gauss; la teoria local e globale delle mappe olomorfe tra superfici di Riemann compatte e la classificazione delle strutture olomorfe su un toro uno dimensionale; proprietà locali e globali di superfici e varietà differenziabili; derivazione covariante, connessioni affini e riemanniane; geodetiche, mappa esponenziale e varietà riemanniane complete.

L' insegnamento consiste di  lezioni frontali teoriche tenute dal docente, di esercitazioni pratiche e dello studio dettagliato di esempi contenute in liste di esercizi assegnate dal docente. 

Le esercitazioni pratiche prevedono una partecipazione cooperativa da parte degli studenti tramite lo svolgimento di semplici calcoli e deduzioni immediate per verificare il grado di comprensione degli argomenti trattati e quanto stiano effetivamente studiando gli argomenti teorici sviluppati.  Queste attività pratiche  assicurano di pari grado l' assimilazione dei contenuti del corso e la capacità di risolvere problemi concreti anche in vista del superamento della prova orale finale.

NOTA BENE: Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche al docente referente CInAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o DSA) del nostro Dipartimento, prof. Filippo Stanco

Geometria II. 

Non è richiesto come prerequisito ma è fortemente consigliato seguire parallelamente  il corso: Complex Analysis and Integral Transforms.

Il programma dettagliato del corso e' reperibile nella pagina web del corso e sul Team. Succintamente elenchiamo i principali contenuti del programma.

Definizione ed esempi di curve parametrizzate nel piano, nello spazio e in $\mathbb E^n$. Definizione di curva differenziabile e teoria locale: lunghezza d' arco, curvatura, torsione, riferimento e formule di Frenét.

 Richiami di Topologia generale. Definizione di  varietà topologica e differenziabile. Primi esempi. Superfici differenziabili nello spazio  $\mathbb E^3$ e in $\mathbb E^n$. Superfici differenziabili orientabili. Piano tangente a una superficie differenziabile. Prima Forma Fondamentale di una superficie. Isometrie tra superfici differenziabili. Campi vettoriali tangenti. Operatore Forma e Seconda Forma Fondamentale. Curvatura di una superficie e Teorema Egregium. 

Derivazione di un campo vettoriale lungo una curva. Accenno alle connessioni lineari e alle connessioni riemanniane. Trasporto parallelo e derivata covariante. Dimostrazione di Riemann del Teorema Egregium di Gauss. 

Rivestimenti topologici. Rivestimenti topologici connessi di uno spazio semplicemente connesso. Sollevamento delle omotopie tra cammini.  Mappe olomorfe tra superfici di Riemann, loro forma normale e applicazioni. Valori regolari e diffeomorfismi locali suriettivi. Ramificazione e diramazione di mappe tra superfici di Riemann. Funzioni meromorfe su una superficie di Riemann. Esempio di $S^2=\mathbb P^1_\mathbb C.$ Campo delle funzioni meromorfe su una superficie di Riemann. Teorema di esistenza di Riemann e struttura del campo delle funzioni meromorfe su una superficie di Riemann compatta. Isomorfismi di tori complessi e loro struttura. Criterio di isomorfismo tra tori complessi uno dimensionali tramite equivalenza di reticoli. Automorfismi di tori complessi. Endomorfismi di tori complessi. Curve unirazionali e Teorema di Luroth. Funzioni ellittiche=funzioni meromorfe sul toro associato. Funzione $\wp$ di Weierstrass.  Funzione $\wp’$. Mappa dei periodi. Campo delle funzioni meromorfe di un toro complesso. Forma canonica di Weierstrass. Immersione di un toro complesso come cubica piana non singolare complessa. Esistenza di una funzione meromorfa con un polo di molteplicità alta in un punto. Teorema di Riemann-Roch su un toro complesso e applicazioni. Lemma di Riemann ed estensione di bilomorfismi  tra superfici di Riemann compatte meno un numero finito di punti. Caratteristica di Eulero-Poincaré di una triangolazione di una superficie topologica compatta e connessa. Teorema di Radò. Indipendenza della caratteristica di Eulero-Poincaré dalla triangolarizzazione. Classificazione delle superfici compatte e connesse. Genere di una superficie compatta connessa e orientabile. Formula di Riemann-Hurwitz. Formula di aggiunzione. 

Geodetiche: esempi e definizione. Mappa esponenziale. Superfici complete. Teorema di Gauss--Bonnet in forma locale (triangoli locali geodetici) e globale (per superfici chiuse e compatte). Teoria globale delle superfici: classificazione delle superfici a curvatura costante positiva, negativa e nulla.  Teorema di Hilbert e impossibilità dell’ immersione isometrica del semipiano di Poincarè nello spazio euclideo. Teoremi di Liebmann e di Hadamard.

[0] F. Russo,  Notes of the Course "Elements of Advanced Geometry", PDF freely available on request, 2022.

[1] W. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1986.

[2] S. Kobayashi,  Differential Geometry of Curves and Surfaces, Springer, 2019

[3] E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 1994.

[4] K. Tapp, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Springer, 2016.

L'esame consiste di un colloquio orale che verterà su tutti i contenuti del corso..

La risoluzione rigorosa delle liste di esercizi consentirà allo studente di applicare in esempli espliciti i potenti strumenti teorici appresi e saranno una base di discussione durante l' esame.

L' esame orale necessiterà di una esposizione chiara e precisa dei contenuti teorici sviluppati durante il corso, verificando la maturazione dell'apprendimento da parte dello studente e preparandolo ai corsi più avanzati e specializzati degli anni successivi. Inoltre è volto ad accertare la preparazione degli studenti, la loro capacità espositiva ed il grado di elaborazione dei contenuti raggiunto.