ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE
Anno accademico 2016/2017 - 1° anno- MODULO 1: Alfonso VILLANI
- MODULO 2: Alfonso VILLANI
SSD: MAT/05 - Analisi matematica
Organizzazione didattica: 300 ore d'impegno totale, 230 di studio individuale, 70 di lezione frontale
Semestre: 1° e 2°
Obiettivi formativi
- MODULO 1
Il corso si propone di fare apprendere le tecniche più usuali ed i principali teoremi nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta nonché alcune nozioni fondamentali ed alcuni
importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter
seguire corsi più avanzati. In particolare nel Modulo 1 si studiano gli elementi della Teoria della Misura in modo da pervenire al concetto di integrazione in uno spazio di misura. - MODULO 2
Il corso si propone di fare apprendere le tecniche più usuali ed i principali teoremi nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta nonché alcune nozioni fondamentali ed alcuni
importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter
seguire corsi più avanzati. In particolare nel Modulo 2 si approfondiscono alcuni capitoli della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta (tra cui: vari modi di convergenza delle successioni di funzioni misurabili, spazi L^p, misure prodotto) e si studiano gli argomenti di base dell'Analisi Funzionale.
Prerequisiti richiesti
- MODULO 1
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e di Topologia.
- MODULO 2
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e di Topologia ed il Modulo 1 del corso di Istituzioni di Analisi Superiore.
Frequenza lezioni
- MODULO 1
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.
- MODULO 2
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.
Contenuti del corso
- MODULO 1
La retta reale estesa: ordinamento e topologia. Successioni di insiemi. La misura di Lebesgue. Misure, misure esterne e teorema di Carathéodory. Boreliani di uno spazio topologico. Misure di Borel e funzioni di distribuzione. Completamento di uno spazio di misura. Funzioni misurabili. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. Misure con segno. Integrazione in uno spazio di misura.
- MODULO 2
Spazi L^p. Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. Misure con densità. Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali.Prodotto di misure e teorema di Fubini. Spazi con seminorme. Spazi normati. Trasformazioni lineari. Il teorema di Hahn-Banach. Topologia debole e debole*.
Testi di riferimento
- MODULO 1
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line
2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill
- MODULO 2
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line
2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill
3. R. Larsen, Functional Analysis, an introduction, Marcel Dekker
Programmazione del corso
| MODULO 1 | |||
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
|---|---|---|---|
| 1 | * | La retta reale estesa: ordinamento e topologia | Testo 1: cap. 1 |
| 2 | * | Successioni di insiemi. | Testo 1: cap. 3 |
| 3 | * | La misura di Lebesgue. | Testo 1: cap. 4 |
| 4 | * | Misure, misure esterne e teorema di Caratheodory. | Testo 1: cap. 5 |
| 5 | * | Boreliani di uno spazio topologico. | Testo 1: cap. 6 |
| 6 | * | Misure di Borel e funzioni di distribuzione. | Testo 1: cap. 7 |
| 7 | * | Completamento di uno spazio di misura. | Testo 1: cap. 8 |
| 8 | * | Funzioni misurabili. | Testo 1: capp. 9 e 12 |
| 9 | * | Misure con segno. | Testo 1: cap 11 |
| 10 | * | Insiemi non misurabili secondo Lebesgue e insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. | Testo 1: cap 10 |
| 11 | * | Intrgrazione in uno spazio di misura. | Testo 1: cap 13 |
| MODULO 2 | |||
| * | Argomenti | Riferimenti testi | |
| 1 | * | Spazi L^p. | Testo 1: capp. 15 e 19 |
| 2 | * | Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. | Testo 1: cap. 16 |
| 3 | * | Misure con densità. Teorema di Radon-Nikodym. | Testo 1: cap. 17 |
| 4 | * | Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. | Testo 1: cap. 18 |
| 5 | * | Prodotto di misure e teorema di Fubini. | Testo 2: cap. 8 |
| 6 | * | Spazi con seminorme. Spazi normati. | Testo 3: capp. 1 e 2 |
| 7 | * | Trasformazioni lineari. | Testo 3: cap. 3 |
| 8 | * | Il teorema di Hahn-Banach. | Testo 3: cap. 4, nn. 1, 2 e 4 |
| 9 | * | Topologia debole e debole*. | Testo 3: cap. 8, nn. 1,2 |
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
- MODULO 1
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa o argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.
Al termine del corso (primo modulo) è prevista una prova orale finale.
Per l'attribuzione del voto relativo al primo modulo si terrà conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.
- MODULO 2
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa o argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.
Al termine del corso (secondo modulo) è prevista una prova orale finale relativa al secondo modulo.
Per la formulazione del giudizio relativo al second modulo si terrà conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.
Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto dei giudizi riportati relativamente a ciascuno dei due moduli.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
- MODULO 1
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.
- MODULO 2
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.