EQUAZIONI DIFFERENZIALI DELLA FISICA MATEMATICA

Gli obiettivi formativi del corso sono:

1. Dare gli elementi di base sulle equazioni differenziali a derivate parziali della fisica matematica (I modulo), della meccanica dei continui e della fluidodinamica (II modulo).

2. Comprensione di fenomeni fisici retti da equazioni a derivate parziali; costruzione dei modelli matematici: equazioni delle onde, calore, equazioni di Laplace, equazioni della meccanica dei continui e della fluidodinamica.

3. Comprensione dei vari metodi risolutivi: perché è stato proposto un metodo risolutivo? Quali metodi alternativi? Capire come dalle soluzioni analitiche ottenute si passa all'interpretazione fisica dei risultati (bontà dei modelli o paradossi).

4. Sarà privilegiato il ragionamento sulla parte fisica, sui modelli e sulla risoluzione analitica.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):

Alla fine del corso di Istituzioni di Fisica Matematica (modulo I e II), lo studente, oltre ad aver acquisito le conoscenze e le capacità di base nell’ambito della modellizzazione matematica, dimostrerà di:

• saper applicare la teoria in situazioni reali;
• possedere conoscenze e capacità di comprensione di testi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):

Le conoscenze teoriche e pratiche acquisite durante il corso permetteranno allo studente di:

• analizzare criticamente i vari modelli;
• proporre soluzioni a problemi concreti;
• identificare l'essenza di un problema e applicare principi generali a casi specifici.

Autonomia di giudizio (making judgements):

Lo studente, in virtù della formazione acquisita, anche di tipo analitico-quantitativo, sarà in grado di analizzare ed interpretare criticamente i dati forniti.

Abilità comunicative (communication skills):

Alla fine del corso di Istituzioni di Fisica Matematica lo studente sarà in grado di:

• trasmettere la propria esperienza e conoscenza ad altri;
• confrontarsi con gli altri, specialmente nell'elaborazione di progetti in cui si lavora in gruppo.

Capacità di apprendimento (learning skills):

Lo studente avrà acquisito capacità di apprendere, anche in modo autonomo, ulteriori conoscenze sui problemi di matematica applicata. Tali capacità di apprendimento gli consentiranno di proseguire gli studi matematici con maggiore autonomia.

Lezioni frontali ed esercizi svolti dagli studenti a casa e in classe.

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a
distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto
a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma
previsto e riportato nel syllabus.

Conoscenza delle equazioni differenziali ordinarie, della fisica matematica (meccanica razionale), Serie di Fourier (alcuni concetti saranno richiamati a lezione).

Fortemente consigliata

(I modulo)

Equazioni differenziali a derivate parziali della fisica matematica.

Equazioni delle onde

Equazioni del calore

Equazione di Laplace e di Poisson.

Programma completo:

Definizioni. Cenni sulle equazioni a derivate parziali del primo
ordine. Classificazione delle
equazioni del secondo ordine. Equazione del secondo ordine con
coefficienti costanti. Riduzione in forma canonica. Riduzione di
un'equazione del secondo ordine con due variabili indipendenti a forma
canonica. Teorema di Cauchy-Kowalewsky.

Equazioni di tipo
iperbolico. Equazione della corda vibrante.
Oscillazioni di una corda illimitata: soluzione di
D'Alembert. Caso della corda finita. Equazioni iperboliche con due
variabili indipendenti: problema di Cauchy e teorema di esistenza.
Equazione omogenea delle onde nel caso tridimensionale. Metodo della
media sferica. Formula di
Poisson. Metodo della discesa. Onde cilindriche. Equazione non omogenea:
principio di Duhamel. Problema di
Cauchy: caratteristiche. Problema misto: unicità e dipendenza
continua. Metodo di Fourier per l'equazione delle onde nel caso
unidimensionale.

Equazioni di tipo parabolico. Primo problema ai valori al contorno
per l'equazione del calore. Teorema del massimo. Unicità e
dipendenza continua. Metodo di Fourier per l'equazione del calore
nel caso unidimensionale. Problema di Cauchy per l'equazione del
calore. Soluzione fondamentale. Teorema di esistenza, unicità
e dipendenza continua.

Equazioni di tipo ellittico. Equazione di Laplace. Formula di
Green. Soluzione del problema interno di Dirichlet per una sfera.
Soluzione del problema esterno di Dirichlet per una sfera.
Comportamento di un'arbitraria funzione armonica all'infinito.
Teorema di unicità per il problema di Neumann. Applicazioni.
Cenni sull'equazione di Poisson.

[1] G. MULONE, Appunti di equazioni a derivate parziali della fisica matematica.

[2] M.M. SMIRNOV, Second-Order partial differential equations, ed. Noordhoff.

[3] F.JOHN, Partial differential equations, Springer-Verlag.

[4] V.I. SMIRNOV, Corso di matematica superiore II, Editori Riuniti.

[5] J. FLAVIN, S. RIONERO, Qualitative estimates for partial differential equations. An introduction. Boca Raton, Florida: CRC Press, 1996.

[7] N.S.KOSHLYAKOV, M.M.SMIRNOV, E.B.GLINER, Differential equations of mathematical physics, ed. North-Holland.

[8] A.N.TICHONOV, A.A. SAMARSKIJ, Equazioni della fisica matematica, ed. Mir.

[9] L.C. EVANS, Partial differential equations, American Mathematical Society, 1998.

[10] H. LEVINE, Partial differential equations, American Mathematical Society, 1997.

L'esame finale consiste in una prova orale durante la quale il candidato dimostra di aver assimilato gli argomenti trattati nel corso (saranno privilegiati la comprensione, il ragionamento e la capacità di costruire esempi).

La prova potrà, a scelta dello studente, essere suddivisa in più colloqui.

La prova in itinere, si svolgerà alla conclusione del primo modulo con colloquio orale individuale.

La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via
telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Equazione della corda vibrante, soluzione di d'Alembert e di Fourier. Interpretazione dei risultati

Equazione del calore. Principo del massimo e teroema di unicità e dipendenza continua dai dati iniziali

Equazione di Laplace. Problema interno di Dirichlet per un dominio sferico.

Superficie caratteristica: onde deboli.

Unicità e dipendenza continua per equazioni iperboliche