GEOMETRIA DIFFERENZIALE
Anno accademico 2020/2021 - 1° anno - Curriculum APPLICATIVOCrediti: 6
SSD: MAT/03 - Geometria
Organizzazione didattica: 150 ore d'impegno totale, 103 di studio individuale, 35 di lezione frontale, 12 di esercitazione
Semestre: 2°
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è di fornire gli elementi della teoria delle varietà differenziabili e della teoria dei gruppi e algebre di Lie. Il corso si propone inoltre di affinare l’abilità di astrazione dello studente, e di allenare la sua capacità di risolvere problemi.
In particolare, corso si propone di far acquisire agli studenti le seguenti competenze:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscenza di risultati e tecniche fondamentali della teoria delle varietà differenziabili. Capacità di leggere, comprendere un argomento della letteratura sulle varietà differenziabili e riproporlo in maniera chiara e accurata. Capacità di comprendere l’enunciato di un problema e di estrarne gli elementi essenziali.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Capacità di risolvere esercizi e problemi di geometria differenziale, individuando le tecniche più adeguate. Essere in grado di mostrare che ogni ipotesi di un teorema è essenziale, tramite la costruzione di esempi e controesempi.
Autonomia di giudizio (making judgements): Essere in grado di argomentare la correttezza e completezza della dimostrazione di un enunciato. Essere in grado di proporre una strategia risolutiva per un problema di geometria differenziale.
Abilità comunicative (communication skills): Capacità di presentare in maniera chiara e accurata la risoluzione di un problema matematico e di motivare adeguatamente le tecniche impiegate nella sua risoluzione.
Capacità di apprendimento (learning skills): Leggere e approfondire un argomento di geometria differenziale. Essere in grado di proseguire nello studio di argomenti più specializzati di geometria differenziale al termine del corso.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
Il corso consiste di lezioni frontali e esercitazioni. Periodicamente verranno pubblicati sul sito del corso dei problemi riguardanti il materiale svolto. Gli studenti potranno discutere in gruppo o col docente tali problemi, ma ciascuno dovrà preparare autonomamente le propria soluzione. Gli studenti verranno poi chiamati alla lavagna a presentare le loro soluzioni. Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.
Prerequisiti richiesti
Conoscenza degli elementi della topologia generale, dell’algebra lineare, della teoria dei gruppi e del calcolo differenziale delle funzioni a una e più variabili.
Frequenza lezioni
Fortemente consigliata.
Contenuti del corso
- Varietà differenziabili.
- Lo spazio tangente e il differenziale.
- Sottovarietà regolari e immerse.
- Elementi sui gruppi di Lie.
- Il Teorema di Sard.
- Il Teorema di Whitney.
- Campi vettoriali.
- Elementi sulle algebre di Lie.
Testi di riferimento
- Loring W. Tu, "An Introduction to Manifolds", Universitext, Springer.
- John M. Lee, "An Introduction to Smooth Manifolds", Graduate Texts in Mathematics, Springer.
Programmazione del corso
Argomenti | Riferimenti testi | |
---|---|---|
1 | Varietà Differenziabili | 1. Capitolo 2 - 2. Capitolo 1. |
2 | Funzioni differenziabili. | 1. Capitolo 2 - 2. Capitolo 2. |
3 | Lo spazio tangente e il differenziale. | 1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 3. |
4 | Sommersioni, immersioni ed embedding. | 1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 4. |
5 | Sottovarietà regolari e immerse. | 1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 5. |
6 | Elementi sui Gruppi di Lie. | 1. Capitolo 4 - 2. Capitolo 7. |
7 | Il Teorema di Sard e applicazioni. | 2. Capitolo 6 |
8 | Il Teorema di Whitney | 2. Capitolo 6 |
9 | Campi vettoriali. | 1. Capitolo 3 - 2. Capitolo 8. |
10 | L'algebra di Lie associata a un gruppo di Lie | 1. Capitolo 4 - 2. Capitolo 8. |
11 | La mappa esponenziale | 2. Capitolo 20 |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame finale è composto da una prova orale. Durante lo svolgimento del corso gli studenti verranno invitati a presentare alla lavagna le loro soluzioni dei problemi proposti. La verifica dell'apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
Le domande potranno riguardare tutti gli argomenti svolti durante il corso.