GEOMETRIA DIFFERENZIALE

La Geometria Differenziale studia oggetti geometrici quali curve, superfici e varietà utilizzando gli strumenti tipici dell’Analisi Matematica. Il corso si propone di introdurre gli elementi della teoria delle varietà differenziabili sia nei suoi aspetti globali che locali. Verranno inoltre studiate le varietà Riemanniane, concentrandosi in particolare su curve e superfici nello spazio.

Gli argomenti verranno presentati in lezioni frontali e contemporaneamente verranno proposti dei set di esercizi. Gli studenti potranno essere invitati a presentare le loro soluzioni di alcuni esercizi alla lavagna.

Analisi 1 e 2. Geometria 1. Topologia Generale. Utile, ma non obbligatoria, Geometria 2, specialmente la parte di algebra multilineare.

La frequenza delle lezioni è fortemente consigliata.

Il programma di massima sarà il seguente:

1. Richiami di topologia generale e algebra multilineare.
2. Varietà topologiche e differenziabili.
3. Spazio tangente e campi di vettori.
4. Tensori nello spazio tangente, campi di tensori.
5. Derivata esterna.
6. Curve nello spazio, lunghezza d’arco, curvatura, torsione.
7. Superfici parametriche, I e II forma fondamentale, curvatura gaussiana e teorema Egregium, geodetiche.
8. Connessioni lineari e varietà Riemanniane.

Non c’è un libro di testo, ma potrà essere utile agli studenti la consultazione dei seguenti testi:

1. M. Abate, F. Tovena, “Geometria Differenziale”, Springer Italia, Milano, 2011.
2. Loring W. Tu, “An introduction to Manifolds”, Springer-Verlag, New York, 2011.
3. M. Abate, F. Tovena, “Curve e Superfici”, Springer Italia, Milano, 2006.
4. W. Boothby, “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry”, Academic Press, 1986.

L’esame è composto da una prova orale, in cui potrà eventualmente essere chiesto lo svolgimento di un esercizio.

Le domande d'esame potranno riguardara tutti gli argomenti del corso.