ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE
Anno accademico 2018/2019 - 1° anno - Curriculum APPLICATIVO, Curriculum DIDATTICO e Curriculum TEORICO- MODULO 1: Alfonso VILLANI
- MODULO 2: Alfonso VILLANI
SSD: MAT/05 - Analisi matematica
Organizzazione didattica: 300 ore d'impegno totale, 206 di studio individuale, 70 di lezione frontale, 24 di esercitazione
Semestre: 1° e 2°
Obiettivi formativi
- MODULO 1
Il corso si propone di fare apprendere le tecniche più usuali ed i principali teoremi nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta nonché le nozioni fondamentali ed alcuni
importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter
seguire corsi più avanzati. In particolare nel Modulo 1 si studiano gli elementi della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta. - MODULO 2
Il corso si propone di fare apprendere le tecniche più usuali ed i principali teoremi nell'ambito della Teoria della Misura e dell'Integrazione astratta nonché le nozioni fondamentali ed alcuni
importanti teoremi dell'Analisi Funzionale, con il duplice intento di arricchire il bagaglio culturale del laureato della LM40 nel campo dell'Analisi Matematica e di fornirgli utili prerequisiti per poter
seguire corsi più avanzati. In particolare nel Modulo 2 si approfondiscono alcuni capitoli di Analisi Reale e si studiano gli argomenti di base dell'Analisi Funzionale.
Modalità di svolgimento dell'insegnamento
- MODULO 1
I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.
- MODULO 2
I principali argomenti del programma saranno illustrati dal docente, con lezioni frontali, nei loro aspetti generali e con particolare riguardo ai punti in cui si introducono nuove idee, Gli approndimenti relativi a tali capitoli ed altri argomenti particolari saranno esposti in aula da gruppi di studenti, che si costituiranno di volta in volta rispettando un criterio di avvicendamento. Ciò persegue l'intento di fare acquisire agli studenti quel grado di autonomia nello studio e nella preparazione dell'esposizione che è indispensabile sia per coloro che vorranno inserirsi nel campo della ricerca sia per i futuri insegnanti.
Prerequisiti richiesti
- MODULO 1
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e di Topologia.
- MODULO 2
I principali argomenti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e di Topologia ed il Modulo 1 del corso di Istituzioni di Analisi Superiore.
Frequenza lezioni
- MODULO 1
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.
- MODULO 2
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma è fortemente raccomandata.
Contenuti del corso
- MODULO 1
La misura di Lebesgue. Misure, misure esterne e teorema di Carathéodory. Boreliani di uno spazio topologico. Misure di Borel e funzioni di distribuzione. Completamento di uno spazio di misura. Funzioni misurabili. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. Misure con segno. Integrazione in uno spazio di misura. Spazi L^p. Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. Misure con segno con densità e teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. Prodotto di misure; teoremi di Tonelli e di Fubini.
- MODULO 2
Funzioni a variazione limitata ed assolutamente continue. Spazi con seminorme. Spazi normati. Trasformazioni lineari. Il teorema di Hahn-Banach. Topologia debole e debole*. Spazi di Hilbert. Trasfornata di Fourier.
Testi di riferimento
- MODULO 1
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line
2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill
- MODULO 2
1. A. Villani, Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, dispense on line
2. W. Rudin, Real and Complex Analysis, Third edition, Mc Graw Hill
3. R. Larsen, Functional Analysis, an introduction, Marcel Dekker
4. H. Royden, Real Analysis, 2nd ed., Macmillan
Programmazione del corso
| MODULO 1 | |||
| Argomenti | Riferimenti testi | ||
|---|---|---|---|
| 1 | La retta reale estesa: ordinamento e topologia | Testo 1: cap. 1 | |
| 2 | Successioni di insiemi. | Testo 1: cap. 3 | |
| 3 | La misura di Lebesgue. | Testo 1: cap. 4 | |
| 4 | Misure, misure esterne e teorema di Caratheodory. | Testo 1: cap. 5 | |
| 5 | Boreliani di uno spazio topologico. | Testo 1: cap. 6 | |
| 6 | Misure di Borel e funzioni di distribuzione. | Testo 1: cap. 7 | |
| 7 | Completamento di uno spazio di misura. | Testo 1: cap. 8 | |
| 8 | Funzioni misurabili. | Testo 1: capp. 9 e 12 | |
| 9 | Misure con segno. | Testo 1: cap 11 | |
| 10 | Insiemi non misurabili secondo Lebesgue e insiemi misurabili secondo Lebesgue che non sono boreliani. | Testo 1: cap. 10 | |
| 11 | Intrgrazione in uno spazio di misura. | Testo 1: cap. 13 | |
| 12 | Spazi L^p. | Testo 1: capp. 15 e 19 | |
| 13 | Vari modi di convergenza di una successione di funzioni misurabili. | Testo 1: cap 16 | |
| 14 | Misure con densità. Teorema di Radon-Nikodym. | Testo 1: cap. 17 | |
| 15 | Caratterizzazione della convergenza in L^p: il teorema di Vitali. | Testo 1: cap. 18 | |
| 16 | Prodotto di misure e teorema di Fubini. | Testo 2: cap. 8 | |
| MODULO 2 | |||
| Argomenti | Riferimenti testi | ||
| 1 | Funzioni a variazione limitata e assolutamente continue. | Testo 4: cap. 5 | |
| 2 | Spazi con seminorme. Spazi normati. | Testo 3: capp. 1 e 2 | |
| 3 | Trasformazioni lineari. | Testo 3: cap. 3 | |
| 4 | Il teorema di Hahn-Banach. | Testo 3: cap. 4, nn. 1, 2 e 4 | |
| 5 | Separazione di insiemi convessi. | Testo 3, cap. 5 | |
| 6 | Topologia debole e debole*. | Testo 3: cap. 8, nn. 1,2 | |
| 7 | Spazi di Hilbert | Testo 3: cap. 13, nn. 1-6 | |
| 8 | Trasformata di Fourier | Testo 2: cap. 9 | |
Verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
- MODULO 1
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.
Al termine del corso (primo modulo) è prevista una prova orale finale.
Per l'attribuzione del voto relativo al primo modulo si terrà conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.
- MODULO 2
Durante il corso saranno assegnati esercizi da svolgere a casa e argomenti da studiare autonomamente, che verranno poi esposti in classe dagli studenti.
Al termine del corso (secondo modulo) è prevista una prova orale finale relativa al secondo modulo.
Per la formulazione del giudizio relativo al secondo modulo si terrà conto, oltre che della prova orale finale, anche delle eventuali prove in itinere (orali) riguardanti specifiche parti del programma e dell'attività svolta in classe durante il corso.
Il voto finale d'esame sarà attribuito tenendo conto dei giudizi riportati relativamente a ciascuno dei due moduli.
Esempi di domande e/o esercizi frequenti
- MODULO 1
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.
- MODULO 2
I titoli degli argomenti contenuti nella "Programmazione del corso" costituiscono esempi di domande frequanti.