MATEMATICA DISCRETA A - L

Anno accademico 2017/2018 - 1° anno
Docente: Salvatore MILICI
Crediti: 12
SSD: MAT/03 - Geometria
Modalità di erogazione: Tradizionale
Organizzazione didattica: 300 ore d'impegno totale, 204 di studio individuale, 48 di lezione frontale, 48 di esercitazione
Semestre: Insegnamento annuale

Obiettivi formativi

  1. Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): L’obiettivo del corso è quello di dare le nozioni di base dell’algebra lineare, della geometria analitica, della teoria dei numeri e della combinatorica che servono per interpretare e descrivere i problemi nelle discipline informatiche.
  2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): lo studente acquisirà le competenze necessarie per affrontare problematiche tipiche della matematica discreta, risolvendo problemi classici in cui è richiesta l’applicazione di tecniche standard.
  3. Autonomia di giudizio (making judgements): lo studente sarà in grado di elaborare autonomamente soluzioni ai principali problemi oggetto del corso scegliendo la strategia più conveniente sulla base dei risultati appresi.
  4. Abilità comunicative (communication skills): lo studente acquisirà le necessarie abilità comunicative acquisendo il linguaggio specifico della matematica discreta.
  5. Capacità di apprendimento (learning skills): il corso si propone, come obiettivo, di fornire allo studente il metodo di studio, la forma mentis e il rigore logico che gli saranno necessari per poter affrontare e risolvere autonomamente nuove problematiche che dovessero sorgere durante una attività lavorativa.

Prerequisiti richiesti

È essenziale avere buona conoscenza degli elementi di base dell'Aritmetica, dell'Algebra Elementare, della Geometria Euclidea nel piano e nello spazio, della Geometria Analitica del piano e della Trigonometria.


Frequenza lezioni

Le risorse principali messe a disposizione dello studente sono le lezioni frontali tutte condotte alla lavagna in aula, la cui frequenza è fortemente consigliata.


Contenuti del corso

PARTE A

1. Preliminari. Insiemi ed operazioni tra di essi *. Applicazioni *. Relazioni. Relazioni di equivalenza e di ordinamento parziali *. Cardinalità di un insieme*. Operazioni algebriche binarie*. Strutture algebriche: gruppi, campi*.

2. Teoria dei numeri. Numeri naturali *. Numeri interi relativi *. Principi di induzione*. Teorema di divisione*. Massimo comune divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.)*. Sistemi di numerazione*.Congruenze*. Equazioni di congruenze*. Sistemi di congruenze e teorema cinese del resto*. Teorema di Fermat*. Applicazioni alla crittografia*.

3. Calcolo combinatorio*. Regola del prodotto e regola della somma*. Permutazioni, combinazioni,disposizioni (semplici e con ripetizione)*. Formula di Stifel e identità di Vandermonde*. Binomio di Newton*. Distribuzione di n biglie in k urne*. Numero di Stirling di seconda specie*. Principio di inclusione ed esclusione*. Grafi: definizioni ed esempi. Rappresentazioni di un grafo*. Alberi *.

4. Probabilità discreta. Definizione di probabilità *. Probabilità uniforme e relative proprietà *. Probabilità condizionale*. Indipendenza stocastica*.

5. Calcolo matriciale e sistemi lineari*. Matrici. Operazioni tra matrici *. Matrici notevoli *. Sistemi lineari *. Calcolo della matrice inversa *. Determinante di una matrice quadrata e relative proprietà*. Rango di una matrice *. Teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli *.

PARTE B

1. Calcolo vettoriale. Vettori applicati *. Teorema di scomposizione *. Prodotto scalare e prodotto vettoriale*. Prodotto misto *. Vettori liberi *.

2. Geometria lineare nel piano. Rette nel piano e loro equazioni *. Parallelismo e ortogonalità *. Intersezione mfra rette *. Coordinate omogenee nel piano *. Fasci di rette *.

3. Isometrie piane *. Traslazione, rotazione attorno ad un punto *. Riflessione rispetto ad una retta *.

4. Geometria lineare nello spazio. Piani e rette nello spazio e loro equazioni *. Parallelismo e ortogonalità *. Intersezione tra piani, tra un piano e una retta e tra rette *. Coordinate omogenee nello spazio *. Punti e rette improprie nello spazio*. Fasci di piani *.

5. Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale*. Sottospazi vettoriali e operazioni tra di essi *. Sottospazio somma *. Lineare indipendenza e lineare dipendenza*. Basi di uno spazio vettoriale *. Dimensione di uno spazio vettoriale *. Basi ordinate di uno spazio vettoriale *.

6. Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare *. Nucleo e immagine di una applicazione lineare *. Proprietà delle applicazioni lineari *. Rango di una applicazione lineare *. Cambiamenti di base *. Formule di trasformazione delle componenti *. Matrici associate ad una applicazione lineare *. Matrici simili *. Autovalori e autovettori *. Polinomio caratteristico *. Ricerca degli autovalori e degli autospazi ad essi associati *. Endomorfismi semplici *. Matrici diagonalizzabili *. Similitudine tra matrici *.


Testi di riferimento

  1. Appunti in rete alla pagina web https://andreascapellato.wordpress.com/didattica-2/
  2. S. Giuffrida, A. Ragusa, Corso di Algebra Lineare, Il Cigno Galileo Galilei Roma.
  3. G. Paxia, Lezioni di Geometria, Cooperativa Universitaria Libraria Catanese.
  4. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Mc Graw Hill.


Programmazione del corso

 *ArgomentiRiferimenti testi
1*Argomenti con asterisco nella voce "Contenuti del corso".Si veda "Testi di riferimento". 
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.

N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.

Verifica dell'apprendimento

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta e di un colloquio orale e prevede una votazione in trentesimi. L’esame è superato se lo studente ottiene un punteggio maggiore o uguale di diciotto (18/30).

Prove d’esame complete. Nella sessione estiva (giugno-luglio) e nella sessione autunnale (settembre ottobre),si effettueranno le prove d’esame ufficiali. In tale sede, coloro che hanno deciso di non effettuare alcuna prova in itinere durante l’anno potranno sostenere una prova scritta completa mentre coloro che non hanno superato qualcuna delle prove in itinere potranno sostenere la parte di prova mancante.

Allo scopo, ogni prova completa è suddivisa in modo chiaro in quattro parti, denominate A1, A2, B1,B2, ciascuna delle quali ha una durata massima di 45 minuti. La prova completa, dunque, dura 180 minuti. Ad esempio, chi in sede di prova d’esame dovesse sostenere due prove in itinere non superate durante l’anno, ha a disposizione 90 minuti da gestire come meglio crede. Le modalità di valutazione delle prove scritte complete sono le stesse di quelle stabilite per le prove in itinere scritte. Vi sarà una votazione per ognuna delle parti (A1 e/o A2 e/o B1 e/o B2) svolte dal candidato.


Esempi di domande e/o esercizi frequenti

PROVA ORALE

Insiemi. Potenza di un insieme. Teoria dei numeri. Calcolo combinatorio. Principio di inclusione ed esclusione. Matrici e sistemi lineari. Probabilità discreta. Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Autovettori ed endomorfismi semplici. Diagonalizzazione di una matrice.

 

PROVA SCRITTA

Esercizi riguardanti i seguenti argomenti:

Principio di induzione. Congruenze e sistemi di congruenze. Massimo comune divisiore. Calcolo combinatorio. Equazioni diofantee. Matrici e sistemi lineari. Probabilità discreta. Geometria lineare nel piano e nello spazio. Trasformazioni geometriche piane. Spazi vettoriali. Studio di una applicazione lineare. Autovettori. Studio della semplicità di un endomorfismo. Diagonalizzazione di matrici.